Наилучшее полное приближение

- наилучшее приближение функции [img: http://localhost:8080/file/031502-98.jpg] кпеременных [img: http://localhost:8080/file/031502-99.jpg] алгебраическими или тригонометрич. многочленами. Пусть X- пространство Сили [img: http://localhost:8080/file/031502-100.jpg] 2p-периодических по каждому переменному функций [img: http://localhost:8080/file/031502-101.jpg] непрерывных либо суммируемых со степенью [img: http://localhost:8080/file/031502-102.jpg] на k-мерном кубе периодов. Н. п. п. функции [img: http://localhost:8080/file/031502-103.jpg] тригонометрич. полиномами есть величина [img: http://localhost:8080/file/031502-104.jpg] где точная нижняя грань берется по всевозможным тригонометрич. полиномам порядка [img: http://localhost:8080/file/031502-105.jpg] от переменных [img: http://localhost:8080/file/031502-106.jpg]. Наряду с Н. Наилучшее частное приближение функции [img: http://localhost:8080/file/031502-107.jpg] - есть наилучшее приближение функциями [img: http://localhost:8080/file/031502-108.jpg], являющимися тригонометрич. полиномами степени [img: http://localhost:8080/file/031502-109.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031502-110.jpg] соответственно от фиксированных переменных [img: http://localhost:8080/file/031502-111.jpg] с коэффициентами, зависящими от остальных k- r переменных, т. е. величина [img: http://localhost:8080/file/031502-112.jpg] Очевидно, что [img: http://localhost:8080/file/031502-113.jpg] Для непрерывных функций двух переменных С. Н. Бернштейн [1] доказал неравенство [img: http://localhost:8080/file/031502-114.jpg] где А- абсолютная константа. Установлено [31, что в неравенстве (1) (и в аналогичном соотношении для пространства L1) нельзя заменить [img: http://localhost:8080/file/031502-115.jpg] на множитель, растущий при min [img: http://localhost:8080/file/031502-116.jpg] медленнее. В пространстве [img: http://localhost:8080/file/031502-117.jpg] имеет место неравенство [img: http://localhost:8080/file/031502-118.jpg] где постоянная Ap,k зависит только от ри k. Аналогично определяются Н. п. п. и наилучшее частное приближение функций, заданных в замкнутой ограниченной области [img: http://localhost:8080/file/031502-119.jpg] алгебраическими многочленами, и в этом случае известны неравенства вида (1), (2).