Наименее благоприятное распределение

- априорное распределение, максимизирующее функцию риска в статистич. задаче принятия решения. Пусть по реализации случайной величины X, принимающей значения в выборочном пространстве ([img: http://localhost:8080/file/031502-242.jpg], [img: http://localhost:8080/file/031502-243.jpg] надлежит принять решение dиз пространства решений [img: http://localhost:8080/file/031502-244.jpg] при этом предполагается, что неизвестный параметр [img: http://localhost:8080/file/031502-245.jpg] является случайной величиной, принимающей значения в выборочном пространстве ([img: http://localhost:8080/file/031502-246.jpg], [img: http://localhost:8080/file/031502-247.jpg]), [img: http://localhost:8080/file/031502-248.jpg]. Пусть функция [img: http://localhost:8080/file/031502-249.jpg] выражает потери, к-рые возникают при принятии решения d, если истинное значение параметра есть [img: http://localhost:8080/file/031502-250.jpg]. Априорное распределение [img: http://localhost:8080/file/031502-251.jpg] из семейства [img: http://localhost:8080/file/031502-252.jpg] наз. наименее благоприятным для решения dв статистической задаче принятия решения при бейесовском подходе, если [img: http://localhost:8080/file/031502-253.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031502-254.jpg] - функция риска, выражающая средние потери от принятия решения d.H. б. р. [img: http://localhost:8080/file/031502-255.jpg] позволяет вычислить самые "тяжелые" (в среднем) потери [img: http://localhost:8080/file/031502-256.jpg] возникающие при принятии решения d. В практич. деятельности ориентируются, как правило, не на Н. б. р., а наоборот, стараются принять такое решение, к-рое предохранило бы от максимальных потерь при изменении параметра в, что приводит к поиску минимаксного решения [img: http://localhost:8080/file/031502-257.jpg], минимизирующего максимальный риск, т. е. [img: http://localhost:8080/file/031502-258.jpg] В задаче проверки сложной статистич. гипотезы против простой альтернативы при бейесовском подходе Н. б. р. определяется с помощью редукции Вальда, к-рая заключается в следующем. Пусть по реализации случайной величины Xнадлежит проверить сложную гипотезу [img: http://localhost:8080/file/031502-259.jpg], согласно к-рой закон распределения Xпринадлежит семейству [img: http://localhost:8080/file/031502-260.jpg] против простой альтернативы [img: http://localhost:8080/file/031502-261.jpg], согласно к-рой случайная величина Xподчиняется закону Q, и пусть [img: http://localhost:8080/file/031502-262.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031502-263.jpg] - нек-рая s-конечная мера на [img: http://localhost:8080/file/031502-264.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031502-265.jpg] - семейство априорных распределений на [img: http://localhost:8080/file/031502-266.jpg]. Тогда для любого [img: http://localhost:8080/file/031502-267.jpg] сложной гипотезе [img: http://localhost:8080/file/031502-268.jpg] можно сопоставить простую гипотезу [img: http://localhost:8080/file/031502-269.jpg], согласно к-рой случайная величина Xподчиняется вероятностному закону, имеющему плотность вероятности [img: http://localhost:8080/file/031502-270.jpg] Согласно Неймана- Пирсона лемме для проверки простой гипотезы [img: http://localhost:8080/file/031502-271.jpg] против простой альтернативы [img: http://localhost:8080/file/031502-272.jpg] существует наиболее мощный критерий, построенный на отношении правдоподобия. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031502-273.jpg] - мощность этого критерия, тогда Н. б. р. есть то априорное распределение [img: http://localhost:8080/file/031502-274.jpg] из семейства [img: http://localhost:8080/file/031502-275.jpg], для к-рого выполняется неравенство [img: http://localhost:8080/file/031502-276.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/031502-277.jpg]. Н. б. р. обладает тем свойством, что плотность вероятности [img: http://localhost:8080/file/031502-278.jpg] случайной величины Xпри гипотезе [img: http://localhost:8080/file/031502-279.jpg] "наименее удалена" от альтернативной плотности q(x), т. е. гипотеза [img: http://localhost:8080/file/031502-280.jpg] является самой "близкой" из семейства [img: http://localhost:8080/file/031502-281.jpg] к конкурирующей гипотезе Н 1. См. Бейесовский подход.