Неванлинны теоремы

- две основные теоремы, доказанные Р. Неванлинной (см. [1], [2]) и лежащие в основе теории распределения значений мероморфных функций (см. Распределения значений теория). Пусть [img: http://localhost:8080/file/031503-239.jpg] - мероморфная функция в круге [img: http://localhost:8080/file/031503-240.jpg] при этом случай [img: http://localhost:8080/file/031503-241.jpg] означает, что функция f(z) мероморфна во всей открытой комплексной плоскости. Для каждого [img: http://localhost:8080/file/031503-242.jpg] функция приближения [img: http://localhost:8080/file/031503-243.jpg] к числу аопределяется так: [img: http://localhost:8080/file/031503-244.jpg] а считающая функция числа а-точек f(z) определяется формулой [img: http://localhost:8080/file/031503-245.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031503-246.jpg] означает число а-точек f(z), с учетом их кратностей, попавших в круг [img: http://localhost:8080/file/031503-247.jpg]... Функция... [img: http://localhost:8080/file/031503-248.jpg] наз. неванлинновской характеристикой функции [img: http://localhost:8080/file/031503-249.jpg]. Первая теорема Неванлинны. Для произвольной мероморфной в круге KR функции f(z), для каждого r, [img: http://localhost:8080/file/031503-250.jpg], и для любого комплексного числа авыполняется соотношение где [img: http://localhost:8080/file/031503-251.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031503-252.jpg] а созначает первый отличный от нуля коэффициент в ряде Лорана в окрестности нуля функции f(z)-a, если [img: http://localhost:8080/file/031503-253.jpg] и функции f(z), если [img: http://localhost:8080/file/031503-254.jpg] Таким образом, для функций с неограниченно растущей при [img: http://localhost:8080/file/031503-255.jpg] характеристикой [img: http://localhost:8080/file/031503-256.jpg] сумма [img: http://localhost:8080/file/031503-257.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031503-258.jpg] для различных значений а, с точностью до ограниченного слагаемого [img: http://localhost:8080/file/031503-259.jpg] сохраняет значение [img: http://localhost:8080/file/031503-260.jpg]. В этом смысле все значения адля произвольной мероморфной в круге [img: http://localhost:8080/file/031503-261.jpg] функции [img: http://localhost:8080/file/031503-262.jpg] являются равноправными значениями. По этой причине в теории распределения значений мероморфных функций интересуются вопросами асимптотич. поведения одного слагаемого [img: http://localhost:8080/file/031503-263.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/031503-264.jpg] в инвариантной сумме (1). Вторая теорема Неванлинны показывает, что в сумме (1) для почти всех точек аосновную роль играет функция [img: http://localhost:8080/file/031503-265.jpg] I. Эта теорема утверждает следующее. Для произвольной мероморфной в круге [img: http://localhost:8080/file/031503-266.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031503-267.jpg] функции [img: http://localhost:8080/file/031503-268.jpg] и для каждых [img: http://localhost:8080/file/031503-269.jpg] различных чисел [img: http://localhost:8080/file/031503-270.jpg] из расширенной комплексной плоскости имеет место соотношение [img: http://localhost:8080/file/031503-271.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031503-272.jpg] а величина [img: http://localhost:8080/file/031503-273.jpg] обладает следующими свойствами. 1) Если [img: http://localhost:8080/file/031503-274.jpg], т. е. f(z)мероморфна во всей открытой комплексной плоскости, то при [img: http://localhost:8080/file/031503-275.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031503-276.jpg] для всех значений r, за возможным исключением некоторого множества Етакого, что [img: http://localhost:8080/file/031503-277.jpg] 2) Если [img: http://localhost:8080/file/031503-278.jpg], то при [img: http://localhost:8080/file/031503-279.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031503-280.jpg] для всех значений r, за возможным исключением, некоторого множества Етакого, что [img: http://localhost:8080/file/031503-281.jpg] Функция [img: http://localhost:8080/file/031503-282.jpg] не убывает с ростом r, поэтому правая часть в соотношении (2) при [img: http://localhost:8080/file/031503-283.jpg] вне нек-рого исключительного множества Ене может возрастать быстрее, чем 2T(r, f).