Неванлинны - пика проблема

- проблема для класса [img: http://localhost:8080/file/031503-284.jpg] аналитич. функций в области Gкомплексной плоскости (или, более общо, римановой поверхности), заключающаяся в нахождении условий, необходимых и достаточных для разрешимости в классе функций [img: http://localhost:8080/file/031503-285.jpg] интерполяционной задачи [img: http://localhost:8080/file/031503-286.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031503-287.jpg] - подмножество точек области [img: http://localhost:8080/file/031503-288.jpg] - нек-рое множество комплексных чисел, а a, как правило, пробегает счетное (иногда конечное или даже несчетное) множество индексов. Классич. результат Г. Пика [1] и Р. Неванлинны [2] (соответственно для конечных и счетных подмножеств [img: http://localhost:8080/file/031503-289.jpg]) дает решение Н.-П. п., напр., для класса B1 аналитич. функций в единичном круге, ограниченных по модулю единицей, в виде условия неотрицательности квадратичных форм [img: http://localhost:8080/file/031503-290.jpg] Первоначальное доказательство этого, а также вполне аналогичных и сводящихся к нему результатов для ряда других классов функций [img: http://localhost:8080/file/031503-291.jpg] (см. [3]) проводилось алгебраическими и теоретико-функциональными методами. Более поздние доказательства, основывающиеся, напр., на сведении Н.-П. п. к нек-рой проблеме моментов (см. [4]) или же полученные с точки зрения теории гильбертовых пространств (см. [5]), позволили охватить случай несчетных подмножеств [img: http://localhost:8080/file/031503-292.jpg] и наметить пути возможных обобщений. Естественным развитием Н. - П. п., потребовавшим привлечения функционально-аналитич. методов исследования, явился вопрос о разрешимости интерполяционной задачи (1) на классе Wправых частей [img: http://localhost:8080/file/031503-293.jpg]; в этом случае, как правило, [img: http://localhost:8080/file/031503-294.jpg] является счетным множеством (последовательностью) точек области G, а в качестве Wвыступают различные пространства последовательностей комплексных чисел. Применительно к классу [img: http://localhost:8080/file/031503-295.jpg] ограниченных аналитич. ций в единичном круге и пространству [img: http://localhost:8080/file/031503-296.jpg] ограниченных последовательностей полное описание соответствующих последовательностей точек [img: http://localhost:8080/file/031503-297.jpg] (т. н. универсальные интерполяционные последовательности) было получено (см. [6]) в виде условия [img: http://localhost:8080/file/031503-298.jpg] Этот результат сыграл важную роль в описании структуры пространства максимальных идеалов алгебры Н°° (см. [7]) и одновременно явился отправным моментом для многочисленных исследований Н.-П. п. (в указанной обобщенной постановке) для классов Харди [img: http://localhost:8080/file/031503-299.jpg] и пространств [img: http://localhost:8080/file/031503-300.jpg] (включая весовые пространства). Оказалось, что при [img: http://localhost:8080/file/031503-301.jpg] решение Н.- П. п. не зависит от Ри дается условием (2), а при [img: http://localhost:8080/file/031503-302.jpg] необходимо меняется при изменении qи р(см. [8]). Другое обобщение Н.- П. п. связано с интерполяционной задачей [img: http://localhost:8080/file/031503-303.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031503-304.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/031503-305.jpg] - нек-рая система функционалов в классе [img: http://localhost:8080/file/031503-306.jpg]. Возникающую при этом задачу описания множества [img: http://localhost:8080/file/031503-307.jpg] можно рассматривать также как обобщение известной коэффициентов проблемы для классов аналитич. ций.