Неймана структура

- структура, определяемая статистикой, не зависящей от достаточной статистики. Понятие Н. с. введено Ю. Нейманом (J. Neyman, см. [1]) в связи с задачей построения подобных критериев в теории проверки статистич. гипотез, при этом сам термин "Н. с." употребляют по отношению к структуре статистич. критерия, если его критич. функция имеет Н. с. Пусть по реализации случайной величины X, принимающей значения в выборочном пространстве [img: http://localhost:8080/file/031504-405.jpg] надлежит проверить сложную гипотезу [img: http://localhost:8080/file/031504-406.jpg] причем для семейства [img: http://localhost:8080/file/031504-407.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031504-408.jpg] существует достаточная статистика Тс распределением из семейства [img: http://localhost:8080/file/031504-409.jpg]. В этом случае любой статистич. критерий уровня [img: http://localhost:8080/file/031504-410.jpg], предназначенный для проверки гипотезы [img: http://localhost:8080/file/031504-411.jpg], имеет Н. с, если его критич. функция [img: http://localhost:8080/file/031504-412.jpg] удовлетворяет условию: [img: http://localhost:8080/file/031504-413.jpg] почти всюду по мере [img: http://localhost:8080/file/031504-414.jpg] Очевидно, что если статистич. критерий имеет Н. с, то он является подобным по отношению к семейству [img: http://localhost:8080/file/031504-415.jpg] так как [img: http://localhost:8080/file/031504-416.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/031504-417.jpg]. Выполнение условия (1) по существу сводит задачу проверки сложной гипотезы [img: http://localhost:8080/file/031504-418.jpg] к задаче проверки простой гипотезы [img: http://localhost:8080/file/031504-419.jpg] при каждом фиксированном значении tдостаточной статистики Т. Пример. Пусть независимые случайные величины [img: http://localhost:8080/file/031504-420.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031504-421.jpg] подчиняются законам Пуассона, параметры к-рых [img: http://localhost:8080/file/031504-422.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031504-423.jpg] неизвестны, и пусть проверяется гипотеза [img: http://localhost:8080/file/031504-424.jpg] против альтернативы [img: http://localhost:8080/file/031504-425.jpg] В силу независимости [img: http://localhost:8080/file/031504-426.jpg] статистика [img: http://localhost:8080/file/031504-427.jpg] подчиняется закону Пуассона с параметром [img: http://localhost:8080/file/031504-428.jpg] а условные распределения случайных величин [img: http://localhost:8080/file/031504-429.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031504-430.jpg] при условии T=t суть биномиальные распределения с параметрами [img: http://localhost:8080/file/031504-431.jpg] соответственно, т. е. [img: http://localhost:8080/file/031504-432.jpg] При справедливости гипотезы [img: http://localhost:8080/file/031504-433.jpg] статистика [img: http://localhost:8080/file/031504-434.jpg] является достаточной для неизвестного общего значения [img: http://localhost:8080/file/031504-435.jpg] а из (2) следует, что если гипотеза [img: http://localhost:8080/file/031504-436.jpg] имеет место, то условное распределение случайной величины [img: http://localhost:8080/file/031504-437.jpg] при фиксированном значении достаточной статистики [img: http://localhost:8080/file/031504-438.jpg] является биномиальным с параметрами [img: http://localhost:8080/file/031504-439.jpg] т. е. при Н 0 [img: http://localhost:8080/file/031504-440.jpg] Таким образом, в этом случае задача проверки сложной гипотезы [img: http://localhost:8080/file/031504-441.jpg] свелась к задаче проверки простой гипотезы [img: http://localhost:8080/file/031504-442.jpg], согласно к-рой условное распределение случайной величины [img: http://localhost:8080/file/031504-443.jpg] (при фиксированной сумме [img: http://localhost:8080/file/031504-444.jpg]) является биномиальным с параметрами [img: http://localhost:8080/file/031504-445.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031504-446.jpg]. Для проверки гипотезы [img: http://localhost:8080/file/031504-447.jpg] можно воспользоваться, напр., знаков критерием. Понятие Н. с. имеет большое значение в задаче проверки сложных статистич. гипотез, т. к. именно среди критериев, имеющих Н. с, часто находится наиболее мощный критерий. Э. Леман (Е. Lehmann) и Г. Шеффе (Н. Scheffe) показали, что статистич. критерий для проверки сложной гипотезы [img: http://localhost:8080/file/031504-448.jpg] имеет Н. с. по отношению к достаточной статистике Ттогда и только тогда, когда семейство [img: http://localhost:8080/file/031504-449.jpg] индуцированное статистикой Т, является ограниченно полным. На основе понятия Н. с. разработаны общие методы построения подобных критериев. См. Распределений полное семейство. Подобный критерий.