Некорректные задачи

точнее - некорректно поставленные задачи,- задачи, для к-рых не удовлетворяется хотя бы одно из приводимых ниже условий, характеризующих корректно поставленные задачи [короче - корректные задачи (к. з.)]. Задача определения решения [img: http://localhost:8080/file/031505-131.jpg] из метрич. пространства Z(с расстоянием [img: http://localhost:8080/file/031505-132.jpg] (,)) по "исходным данным" [img: http://localhost:8080/file/031505-133.jpg] из метрич. пространства U(с расстоянием [img: http://localhost:8080/file/031505-134.jpg] (,)) наз. корректно поставленной на паре пространств (Z, U), если: а) для всякого [img: http://localhost:8080/file/031505-135.jpg] существует решение [img: http://localhost:8080/file/031505-136.jpg]; б) решение определяется однозначно; в) задача устойчива на пространствах [img: http://localhost:8080/file/031505-137.jpg], что означает: для всякого [img: http://localhost:8080/file/031505-138.jpg] существует такое [img: http://localhost:8080/file/031505-139.jpg] что для любых [img: http://localhost:8080/file/031505-140.jpg] из неравенства [img: http://localhost:8080/file/031505-141.jpg] следует неравенство [img: http://localhost:8080/file/031505-142.jpg] Понятие к. з. принадлежит Ж. Адамару (J. Hadamard, 1923), высказавшему точку зрения, что всякая математич. задача, соответствующая какой-либо физич. или технич. задаче, должна быть корректной. В самом деле, какую физич. интерпретацию может иметь решение, если как угодно малым изменениям исходных данных могут соответствовать большие изменения решения? К таким задачам затруднительно применять приближенные методы решения. Это поставило под сомнение целесообразность изучения Н. з. Однако такая точка зрения, естественная в применении к нек-рым явлениям, развивающимся во времени, не может быть перенесена на все задачи. В самом деле, неустойчивыми в метрике С, а следовательно и Н. з., являются задачи: решения интегральных уравнений 1-го рода; дифференцирования функций, известных приближенно; численного суммирования рядов Фурье, когда их коэффициенты известны приближенно в метрике [img: http://localhost:8080/file/031505-143.jpg]; задача Коши для уравнения Лапласа; задача аналитич. родолжения функций; обратные задачи гравиметрии. Некорректными являются также задачи решения систем линейных алгебраич. уравнений в условиях равного нулю определителя системы (а также плохо обусловленные системы); минимизации функционалов, имеющих несходящиеся минимизирующие последовательности; нек-рые задачи линейного программирования и оптимального управления; проектирования оптимальных систем, конструкций (синтез антенн и других физич. систем); задачи об управлении объектами, описываемые дифференциальными уравнениями (в частности, дифференциальные игры). К перечисленным задачам приводят самые различные физич. и технич. проблемы (см. [7]). К Н. з. относится широкий класс т. н. обратных задач, возникающих в физике, технике и других отраслях знаний, в частности - задачи обработки результатов физич. экспериментов. Пусть z - количественная характеристика изучаемого явления (объекта). В физич. эксперименте часто величина z недоступна непосредственному измерению, а измеряется нек-рое ее проявление [img: http://localhost:8080/file/031505-144.jpg]. Для интерпретации результатов измерений необходимо определять z по и, т. е. решать уравнение вида [img: http://localhost:8080/file/031505-145.jpg] Задачи решения уравнений (1) часто наз. задачами распознавания образов. Задачи, приводящие к задачам минимизации функционалов (задачи синтеза антенн и других систем и конструкций, задачи оптимального управления и многие др.), наз. также задачами синтеза. Пусть в задаче обработки результатов физич. экспериментов изучаемый объект (явление) характеризуется элементом z (функцией, вектором), принадлежащим множеству возможных решений Zметрич. пространства [img: http://localhost:8080/file/031505-146.jpg] Пусть [img: http://localhost:8080/file/031505-147.jpg] недоступен для прямого измерения и измеряется его проявление [img: http://localhost:8080/file/031505-148.jpg] - образ Zпри его отображении с помощью оператора А. Очевидно, [img: http://localhost:8080/file/031505-149.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031505-150.jpg] - оператор, обратный оператору А. Так как элемент [img: http://localhost:8080/file/031505-151.jpg] получают путем измерений, то он бывает известен лишь приближенно. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031505-152.jpg] - это приближенное значение. В этих условиях речь может идти лишь о нахождении приближенного (к zT) "решения" уравнения [img: http://localhost:8080/file/031505-153.jpg] Оператор [img: http://localhost:8080/file/031505-154.jpg] во многих случаях таков, что обратный ему оператор [img: http://localhost:8080/file/031505-155.jpg] не является непрерывным, напр. когда [img: http://localhost:8080/file/031505-156.jpg] - вполне непрерывный оператор в гильбертовом пространстве, в частности интегральный оператор вида [img: http://localhost:8080/file/031505-157.jpg] В этих условиях нельзя, следуя классич. концепциям, брать в качестве приближенного к [img: http://localhost:8080/file/031505-158.jpg] "решения" точное решение уравнения (2), т. о. элемент [img: http://localhost:8080/file/031505-159.jpg] так как: а) такого решения может не существовать на Z, поскольку и ~ может не принадлежать множеству AZ;б) такое решение, если даже оно существует, не будет обладать свойством устойчивости к малым изменениям [img: http://localhost:8080/file/031505-160.jpg] (поскольку обратный оператор [img: http://localhost:8080/file/031505-161.jpg] не является непрерывным) и, следовательно, не может быть физически интерпретируемым. Задача (2) является Н. з. Численные методы решения некорректных задач. Для Н. з. вида (1) возникает вопрос: что понимается под приближенным решением таких задач? При этом необходимо так определить приближенное решение, чтобы оно было устойчивым к малым изменениям исходной информации. Второй вопрос: каковы алгоритмы построения таких решений. Исчерпывающие ответы на эти основные вопросы впервые даны А. Н. Тихоновым (см. [1], [2]). Метод подбора. В нек-рых случаях приближенные решения уравнений (1) находятся методом подбора. Он состоит в том, что из класса возможных решений [img: http://localhost:8080/file/031505-162.jpg] подбирают элемент [img: http://localhost:8080/file/031505-163.jpg] для к-рого [img: http://localhost:8080/file/031505-164.jpg] приближает правую часть уравнения (1) с требуемой точностью. В качестве искомого приближенного решения берут элемент [img: http://localhost:8080/file/031505-165.jpg] Возникает вопрос: когда этот метод применим, т. е. когда из неравенства [img: http://localhost:8080/file/031505-166.jpg] следует, что [img: http://localhost:8080/file/031505-167.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031505-168.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/031505-169.jpg]. Это имеет место при условии однозначной разрешимости уравнения (1) и при условии" что множество М- компакт (см. [3]). На основе этих соображений сформулировано понятие корректности по Тихонову, наз. также условной корректностью (см. [4]). В применении к уравнению (1) задача наз. корректной по Тихонову, если известно, что для точного значения правой части [img: http://localhost:8080/file/031505-170.jpg] существует единственное решение [img: http://localhost:8080/file/031505-171.jpg] уравнения (1), принадлежащее заданному компакту М. В этом случае [img: http://localhost:8080/file/031505-172.jpg] непрерывен на множестве М, и если вместо элемента [img: http://localhost:8080/file/031505-173.jpg] известен элемент [img: http://localhost:8080/file/031505-174.jpg] такой, что [img: http://localhost:8080/file/031505-175.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031505-176.jpg], то в качестве приближенного решения уравнения (1) с правой частью [img: http://localhost:8080/file/031505-177.jpg] можно брать элемент [img: http://localhost:8080/file/031505-178.jpg] При [img: http://localhost:8080/file/031505-179.jpg] будет стремиться к [img: http://localhost:8080/file/031505-180.jpg]. Во многих случаях приближенно известная правая часть [img: http://localhost:8080/file/031505-181.jpg] не принадлежит множеству AM. В этих условиях уравнение (1) не имеет классич. решения. В качестве приближенного решения берется обобщенное решение, называемое квазирешением (см. [5]). Элемент [img: http://localhost:8080/file/031505-182.jpg] минимизирующий при данном в функционал [img: http://localhost:8080/file/031505-183.jpg] на множестве М, наз. квазирешением уравнения (1) на М(см. [6]). Если М - компакт, то ква-знрешение существует для любого [img: http://localhost:8080/file/031505-184.jpg] и если, кроме того, [img: http://localhost:8080/file/031505-185.jpg] то квазирешение [img: http://localhost:8080/file/031505-186.jpg] совпадает с классическим (точным) решением уравнения (1). Существование квазирешения гарантируется лишь при условии компактности множества возможных решений М. Метод регуляризации. Для ряда прикладных задач, приводящих к уравнению (1), характерна ситуация, когда множество возможных решений Zне является компактом, оператор [img: http://localhost:8080/file/031505-187.jpg] не является непрерывным на AZ и изменения правой части уравнения (1), связанные с ее приближенным характером, могут выводить ее за пределы множества AZ. Такие задачи наз. существенно некорректными задачами. Разработан подход к решению Н. з., позволяющий строить с помощью ЭВМ приближенные решения существенно Н. з. вида (1), устойчивые к малым изменениям исходных данных. К исходным данным задач вида (1) относится как правая часть и, так и оператор А. В дальнейшем для простоты изложения предполагается, как правило, что оператор Аизвестен точно. В основе подхода лежит понятие регуляризирующего оператора (см. [2], [7]). Оператор [img: http://localhost:8080/file/031505-188.jpg] из [img: http://localhost:8080/file/031505-189.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/031505-190.jpg] наз. регуляризирующим оператором для уравнения [img: http://localhost:8080/file/031505-191.jpg] (в окрестности [img: http://localhost:8080/file/031505-192.jpg]), если он обладает свойствами: 1) существует такое [img: http://localhost:8080/file/031505-193.jpg] >0, что оператор [img: http://localhost:8080/file/031505-194.jpg] определен для всякого [img: http://localhost:8080/file/031505-195.jpg] ",и [img: http://localhost:8080/file/031505-196.jpg] любого [img: http://localhost:8080/file/031505-197.jpg] такого, что [img: http://localhost:8080/file/031505-198.jpg] 2) для всякого [img: http://localhost:8080/file/031505-199.jpg] существует [img: http://localhost:8080/file/031505-200.jpg] такое, что из неравенства rU(ud,uT)<=d<=d0 следует неравенство [img: http://localhost:8080/file/031505-201.jpg] Иногда удобнее пользоваться другим определением регуляризирующего оператора, в к-ром содержится приведенное определение. Оператор [img: http://localhost:8080/file/031505-202.jpg] из [img: http://localhost:8080/file/031505-203.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/031505-204.jpg], зависящий от параметра [img: http://localhost:8080/file/031505-205.jpg], наз. регуляризирующим оператором для уравнения [img: http://localhost:8080/file/031505-206.jpg] (в окрестности [img: http://localhost:8080/file/031505-207.jpg]), если он обладает свойствами: 1) существует такое число [img: http://localhost:8080/file/031505-208.jpg] что оператор [img: http://localhost:8080/file/031505-209.jpg] определен для всякого [img: http://localhost:8080/file/031505-210.jpg] и любого [img: http://localhost:8080/file/031505-211.jpg] для к-рого [img: http://localhost:8080/file/031505-212.jpg] 2) существует такая функция от [img: http://localhost:8080/file/031505-213.jpg], [img: http://localhost:8080/file/031505-214.jpg], что для любого [img: http://localhost:8080/file/031505-215.jpg] найдется число [img: http://localhost:8080/file/031505-216.jpg] такое, что если [img: http://localhost:8080/file/031505-217.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031505-218.jpg] В этом определении не предполагается однозначность оператора [img: http://localhost:8080/file/031505-219.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/031505-220.jpg] то в качестве приближенного решения уравнения (1) с приближенно известной правой частью [img: http://localhost:8080/file/031505-221.jpg] можно брать элемент [img: http://localhost:8080/file/031505-222.jpg] полученный с помощью регуляризирующего оператора [img: http://localhost:8080/file/031505-223.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031505-224.jpg] согласовано с погрешностью исходных данных [img: http://localhost:8080/file/031505-225.jpg] (см. [1], [2], [7]). Это решение наз. регуляризованным решением уравнения (1). Числовой параметр [img: http://localhost:8080/file/031505-226.jpg] наз. параметром регуляризации. При [img: http://localhost:8080/file/031505-227.jpg] регулярпзированное приближенное решение [img: http://localhost:8080/file/031505-228.jpg] стремится (в метрике Z)к точному решению [img: http://localhost:8080/file/031505-229.jpg] Таким образом, задача нахождения приближенных решений уравнения (1), устойчивых к малым изменениям правой части, сводится: а) к нахождению регуляризирующего оператора; б) к определению параметра регуляризации [img: http://localhost:8080/file/031505-230.jpg] по дополнительной информации о задаче, напр, по величине погрешности, с к-рой задается правая часть и. Построение регуляризирующих операторов. Предполагается, что уравнение [img: http://localhost:8080/file/031505-231.jpg] имеет единственное решение [img: http://localhost:8080/file/031505-232.jpg]. Пусть вместо уравнения [img: http://localhost:8080/file/031505-233.jpg] решается уравнение, [img: http://localhost:8080/file/031505-234.jpg] причем [img: http://localhost:8080/file/031505-235.jpg]. Так как [img: http://localhost:8080/file/031505-236.jpg] то приближенное решение уравнения [img: http://localhost:8080/file/031505-237.jpg]. ищется в классе [img: http://localhost:8080/file/031505-238.jpg] элементов [img: http://localhost:8080/file/031505-239.jpg] таких, что [img: http://localhost:8080/file/031505-240.jpg]. Множество [img: http://localhost:8080/file/031505-241.jpg] есть множество возможных решений. В качестве приближенного решения нельзя брать произвольный элемент zd из [img: http://localhost:8080/file/031505-242.jpg], т. к. такое "решение" не единственно и оно не будет, вообще говоря, непрерывным по [img: http://localhost:8080/file/031505-243.jpg]. В качестве принципа отбора возможных решений, обеспечивающего получение такого элемента (или элементов) из [img: http://localhost:8080/file/031505-244.jpg], к-рый непрерывно зависел бы от [img: http://localhost:8080/file/031505-245.jpg] и при [img: http://localhost:8080/file/031505-246.jpg] стремился бы к [img: http://localhost:8080/file/031505-247.jpg], используется т. н. вариационный принцип (см. [1]). Пусть [img: http://localhost:8080/file/031505-248.jpg] - непрерывный неотрицательный функционал, определенный на всюду плотном на Zподмножестве [img: http://localhost:8080/file/031505-249.jpg] множества Zи такой, что: а) [img: http://localhost:8080/file/031505-250.jpg]; б) для всякого d>0 множество элементов z из Fu для к-рых [img: http://localhost:8080/file/031505-251.jpg] является компактным на F. Функционалы [img: http://localhost:8080/file/031505-252.jpg] обладающие такими св-вами, наз. стабилизирующими функционалами для задачи (1). Пусть [img: http://localhost:8080/file/031505-253.jpg] - стабилизирующий функционал, определенный на подмножестве [img: http://localhost:8080/file/031505-254.jpg] множества Z([img: http://localhost:8080/file/031505-255.jpg] может совпадать с Z). Среди элементов множества [img: http://localhost:8080/file/031505-256.jpg] ищется такой (такие), к-рый минимизирует функционал [img: http://localhost:8080/file/031505-257.jpg] на [img: http://localhost:8080/file/031505-258.jpg]. Доказывается существование такого элемента [img: http://localhost:8080/file/031505-259.jpg] (см. [7]). Его можно рассматривать как результат применения нек-рого оператора [img: http://localhost:8080/file/031505-260.jpg] к правой части уравнения [img: http://localhost:8080/file/031505-261.jpg], то есть [img: http://localhost:8080/file/031505-262.jpg]. Оператор [img: http://localhost:8080/file/031505-263.jpg] является регулярнзирующим для уравнения (1). Фактич. отыскание элемента zd, можно осуществлять следующим образом: при незначительных дополнительных ограничениях на [img: http://localhost:8080/file/031505-264.jpg] (при условии квазимонотонности, [img: http://localhost:8080/file/031505-265.jpg] см. [7]) доказывается, что [img: http://localhost:8080/file/031505-266.jpg] достигается на элементах [img: http://localhost:8080/file/031505-267.jpg] для к-рых [img: http://localhost:8080/file/031505-268.jpg] Элемент [img: http://localhost:8080/file/031505-269.jpg] является решением задачи на минимум функционала [img: http://localhost:8080/file/031505-270.jpg] при условии [img: http://localhost:8080/file/031505-271.jpg] т. е. решением задачи на условный экстремум, к-рую можно решать методом неопределенных множителей Лагранжа и сводящейся к минимизации функционала [img: http://localhost:8080/file/031505-272.jpg] При любом [img: http://localhost:8080/file/031505-273.jpg] доказывается существование элемента [img: http://localhost:8080/file/031505-274.jpg], минимизирующего [img: http://localhost:8080/file/031505-275.jpg] Параметр [img: http://localhost:8080/file/031505-276.jpg] определяется из условия [img: http://localhost:8080/file/031505-277.jpg] Если существует такое [img: http://localhost:8080/file/031505-278.jpg] что [img: http://localhost:8080/file/031505-279.jpg] то исходная вариационная задача эквивалентна задаче минимизации функционала [img: http://localhost:8080/file/031505-280.jpg] к-рая может быть решена различными способами на ЭВМ (напр., путем решения соответствующего уравнения Эйлера для [img: http://localhost:8080/file/031505-281.jpg]). Элемент [img: http://localhost:8080/file/031505-282.jpg], минимизирующий функционал [img: http://localhost:8080/file/031505-283.jpg], можно рассматривать как результат применения к правой части уравнения [img: http://localhost:8080/file/031505-284.jpg] нек-рого оператора [img: http://localhost:8080/file/031505-285.jpg] зависящего от параметра [img: http://localhost:8080/file/031505-286.jpg], т. е. [img: http://localhost:8080/file/031505-287.jpg], в к-ром [img: http://localhost:8080/file/031505-288.jpg] определяется по невязке из соотношения [img: http://localhost:8080/file/031505-289.jpg] Оператор [img: http://localhost:8080/file/031505-290.jpg] является регуляризирующим оператором для уравнения (1). Эквивалентность исходной вариационной задачи на нахождение минимума функционала [img: http://localhost:8080/file/031505-291.jpg] имеет место, напр., для линейных операторов А. Для нелинейных операторов Аэто может быть и не так (см. [8]). Функционал [img: http://localhost:8080/file/031505-292.jpg] наз. сглаживающим функционалом, можно ввести в рассмотрение формально, не связывая его с задачей на условный экстремум функционала [img: http://localhost:8080/file/031505-293.jpg], и искать элемент [img: http://localhost:8080/file/031505-294.jpg], минимизирующий его на множестве [img: http://localhost:8080/file/031505-295.jpg]. При этом возникает задача нахождения параметра регуляризации a. как такой функции от [img: http://localhost:8080/file/031505-296.jpg], для к-рой оператор [img: http://localhost:8080/file/031505-297.jpg] определяющий элемент [img: http://localhost:8080/file/031505-298.jpg] был бы регуляризирующим для уравнения (1). При определенных условиях (напр., если известно, что [img: http://localhost:8080/file/031505-299.jpg] и A - линейный оператор) такая функция существует и может быть найдена из соотношения [img: http://localhost:8080/file/031505-300.jpg] Возможны и другие способы нахождения [img: http://localhost:8080/file/031505-301.jpg]. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031505-302.jpg] - класс неотрицательных неубывающих и непрерывных на отрезке [img: http://localhost:8080/file/031505-303.jpg] функций; [img: http://localhost:8080/file/031505-304.jpg] есть решение уравнения (1) с правой частью [img: http://localhost:8080/file/031505-305.jpg] и A - непрерывный оператор из Z в U. Тогда, каковы бы ни были положительное число [img: http://localhost:8080/file/031505-306.jpg]. и функции [img: http://localhost:8080/file/031505-307.jpg] из класса [img: http://localhost:8080/file/031505-308.jpg] такие, что [img: http://localhost:8080/file/031505-309.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031505-310.jpg] существует такое [img: http://localhost:8080/file/031505-311.jpg] что для [img: http://localhost:8080/file/031505-312.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031505-313.jpg] из неравенства [img: http://localhost:8080/file/031505-314.jpg] следует неравенство [img: http://localhost:8080/file/031505-315.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031505-316.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/031505-317.jpg] удовлетворяющих неравенствам [img: http://localhost:8080/file/031505-318.jpg]. Способы нахождения параметра регуляризации определяются характером имеющейся дополнительной информации о задаче. Если известна погрешность правой части уравнения [img: http://localhost:8080/file/031505-319.jpg] т. е. [img: http://localhost:8080/file/031505-320.jpg] то согласно предыдущему естественно определять [img: http://localhost:8080/file/031505-321.jpg] по невязке, т. е. из соотношения [img: http://localhost:8080/file/031505-322.jpg] Функция [img: http://localhost:8080/file/031505-323.jpg] является монотонной и полунепрерывной справа и слева при каждом [img: http://localhost:8080/file/031505-324.jpg] Если оператор Алинейный, Z - гильбертово пространство и [img: http://localhost:8080/file/031505-325.jpg] - строго выпуклый функционал (напр., квадратичный), то элемент [img: http://localhost:8080/file/031505-326.jpg] единственный и [img: http://localhost:8080/file/031505-327.jpg] однозначная функция. В этих условиях для всякого положительного числа [img: http://localhost:8080/file/031505-328.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031505-329.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031505-330.jpg] существует [img: http://localhost:8080/file/031505-331.jpg] такое, что [img: http://localhost:8080/file/031505-332.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031505-333.jpg] (см. [7]). Для нелинейного оператора Ауравнение [img: http://localhost:8080/file/031505-334.jpg] может не иметь решения (см. [8]). Метод регуляризации тесно связан с построением сплайнов. Так, напр., задача нахождения функции z(x)с кусочно непрерывной на [img: http://localhost:8080/file/031505-335.jpg] производной 2-го порядка, минимизирующей функционал [img: http://localhost:8080/file/031505-336.jpg] и принимающей заданные значения [img: http://localhost:8080/file/031505-337.jpg] на сетке [img: http://localhost:8080/file/031505-338.jpg] эквивалентна построению сплайна 2-го порядка. Регуляризирующий оператор можно строить с помощью интеграла по спектральной мере оператора (см. [7], [9]), для уравнений типа свертки - с помощью классич. интегральных преобразований (см. [10], [7]), методом квазиобращений (см. [11]), с помощью метода итераций (см. [12]). Указаны (см. [13]) необходимые и достаточные условия существования регуляризирующе-го оператора. Пусть приближенно задана не только правая часть уравнения (1), но и оператор А, таким образом вместо точных исходных данных [img: http://localhost:8080/file/031505-339.jpg] имеются [img: http://localhost:8080/file/031505-340.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031505-341.jpg] В этих условиях процедура получения приближенного решения будет той же, только вместо функционала [img: http://localhost:8080/file/031505-342.jpg] надо рассматривать функционал [img: http://localhost:8080/file/031505-343.jpg] а параметр [img: http://localhost:8080/file/031505-344.jpg] определять, напр., из соотношения (см. [7]): [img: http://localhost:8080/file/031505-345.jpg] Если уравнение (1) имеет бесконечное множество решений, то вводится понятие нормального решения. Пусть пространство Z нормировано, тогда в качестве такового можно брать, напр., решение z-, норма уклонения к-рого от заданного элемента [img: http://localhost:8080/file/031505-346.jpg] минимальна, т. е. [img: http://localhost:8080/file/031505-347.jpg] Приближение к нормальному решению, устойчивое к малым изменениям исходных данных уравнения (1), находится описанным выше методом регуляризации. К числу таких задач с бесконечным числом решений относятся вырожденные системы линейных алгебраич. уравнений. Так наз. плохо обусловленные системы линейных алгебраич. уравнений можно рассматривать как системы, полученные из вырожденных путем замены оператора Аего приближением [img: http://localhost:8080/file/031505-348.jpg]. В качестве нормального решения совместной вырожденной системы можно брать решение системы [img: http://localhost:8080/file/031505-349.jpg] с минимальной нормой [img: http://localhost:8080/file/031505-350.jpg]. В сглаживающем функционале в качестве [img: http://localhost:8080/file/031505-351.jpg] можно брать функционал [img: http://localhost:8080/file/031505-352.jpg] Приближенные решения плохо обусловленных систем также находятся методом регуляризации с [img: http://localhost:8080/file/031505-353.jpg] (см. [7]). Аналогично решается задача нахождения решения интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода на спектре, т. е. в случае, когда параметр [img: http://localhost:8080/file/031505-354.jpg] уравнения равен одному из собственных значений ядра. Неустойчивые задачи минимизации функционалов. Ряд практически важных задач приводится к задачам минимизации функционалов [img: http://localhost:8080/file/031505-355.jpg] Различается два типа таких задач. К первому относятся те из них, в к-рых надо находить минимальное (или максимальное) значение функционала. К этому типу относятся многие задачи проектирования оптимальных систем, конструкций. Для этих задач несущественно, на каких элементах достигается искомый минимум. Поэтому в качестве приближенных решений таких задач можно брать значения функционала [img: http://localhost:8080/file/031505-356.jpg] на любой минимизирующей последовательности [img: http://localhost:8080/file/031505-357.jpg] Ко второму типу относятся задачи, в к-рых надо найти элементы z, на к-рых достигается минимум функционала [img: http://localhost:8080/file/031505-358.jpg] Их называют задачами минимизации по аргументу. Среди них встречаются такие, в к-рых минимизирующие последовательности могут быть несходящимися. В этих задачах нельзя брать в качестве приближенных решений элементы минимизирующих последовательностей. Такие задачи наз. неустойчивыми, или некорректно поставленными. К ним относятся, напр., задачи оптимального управления, в к-рых оптимизируемый (целевой) функционал зависит только от фазовых переменных. Пусть на метрич. пространстве [img: http://localhost:8080/file/031505-359.jpg] задан непрерывный функционал [img: http://localhost:8080/file/031505-360.jpg] и существует элемент [img: http://localhost:8080/file/031505-361.jpg] минимизирующий [img: http://localhost:8080/file/031505-362.jpg] Минимизирующую последовательность [img: http://localhost:8080/file/031505-363.jpg] функционала [img: http://localhost:8080/file/031505-364.jpg] наз. регуляризованной, если существует компактное в [img: http://localhost:8080/file/031505-365.jpg] множество [img: http://localhost:8080/file/031505-366.jpg] содержащее [img: http://localhost:8080/file/031505-367.jpg] Если задача минимизации функционала [img: http://localhost:8080/file/031505-368.jpg] имеет единственное решение [img: http://localhost:8080/file/031505-369.jpg] то регуляризованная минимизирующая последовательность сходится к z0, и в этих условиях для решения неустойчивой задачи минимизации функционала достаточно указать алгоритмы построения регуляризованных минимизирующих последовательностей. Это можно сделать путем использования стабилизирующих функционалов [img: http://localhost:8080/file/031505-370.jpg] Пусть [img: http://localhost:8080/file/031505-371.jpg] - стабилизирующий функционал, определенный на множестве [img: http://localhost:8080/file/031505-372.jpg] Часто вместо [img: http://localhost:8080/file/031505-373.jpg] имеется его [img: http://localhost:8080/file/031505-374.jpg] -приближение [img: http://localhost:8080/file/031505-375.jpg] по отношению к [img: http://localhost:8080/file/031505-376.jpg] т. е. такой функционал, что для всякого [img: http://localhost:8080/file/031505-377.jpg]: [img: http://localhost:8080/file/031505-378.jpg] При любом [img: http://localhost:8080/file/031505-379.jpg] задача минимизации функционала [img: http://localhost:8080/file/031505-380.jpg] по аргументу устойчива. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031505-381.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031505-382.jpg] - сходящиеся к нулю последовательности такие, что [img: http://localhost:8080/file/031505-383.jpg] для всякого пи [img: http://localhost:8080/file/031505-384.jpg] - последовательность элементов, минимизирующих функционалы [img: http://localhost:8080/file/031505-385.jpg] Эта последовательность является регуляризованной минимизирующей последовательностью для функционала [img: http://localhost:8080/file/031505-386.jpg] (см. [7]) и, следовательно, сходится к элементу [img: http://localhost:8080/file/031505-387.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/031505-388.jpg] В качестве приближенных решений задачи можно брать элементы [img: http://localhost:8080/file/031505-389.jpg] Аналогично строятся приближенные решения Н. з. оптимального управления. В прикладных Н. з. исходные данные часто содержат случайные погрешности. Для построения приближенных решений таких задач возможен как детерминированный, так и вероятностный подходы (см. [7], [15]).