Нелинейная связность

- дифференциально-геометрическая структура, задаваемая на категории гладких расслоенных пространств, ассоциированных с нек-рым главным G-расслоением, к-рая фиксирует определенный для данной Н. с. изоморфизм слоев (параллельный перенос) вдоль каждой кусочно гладкой кривой базы расслоения данной категории, согласованный с изоморфизмом соответствующих слоев главного G-расслоения. При этом предполагается, что указанная структура не тождественна ставшему классическим понятию линейной связности, к-рое определяется тем пли иным G- инвариантным горизонтальным распределением. Иной смысл [5] имеет термин Н. с, состоящий в том, что определяемый горизонтальным распределением перенос векторных слоев расслоения теряет линейный характер, т. е. не является изоморфизмом этих слоев. Необходимость введения и исследование Н. с. диктовалась потребностями изучения различных дифферен-циально-геометрич. структур высших порядков (таких, как напр. Кавагути пространства). Основы общей теории Н. с. достаточно развиты, исследованы и получили приложения нек-рые специальные типы Н. с. (см. [2] - [4]). Пусть [img: http://localhost:8080/file/031505-464.jpg] гладкое главное G-расслоение со структурной группой Ли Gи канонич. проекцией p на базу В, а К(X)- категория всех ассоциированных с Xрасслоений. Изоморфизмом слоя [img: http://localhost:8080/file/031505-465.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031505-466.jpg] на слой [img: http://localhost:8080/file/031505-467.jpg] наз. отображение [img: http://localhost:8080/file/031505-468.jpg], коммутирующее с действием группы Gна X. Люоой изоморфизм iможет быть задан формулой [img: http://localhost:8080/file/031505-469.jpg] и, следовательно, является диффеоморфизмом слоев Gx и Gy. Множество Т(Х)всех изоморфизмов между всевозможными слоями главного расслоения Xявляется гладким расслоением со структурой группоида над базой. [img: http://localhost:8080/file/031505-470.jpg] (группоид - категория с обратимыми элементами). Изоморфизм [img: http://localhost:8080/file/031505-471.jpg] порождает соответствующий изоморфизм слоев над точками [img: http://localhost:8080/file/031505-472.jpg] любого ассоциированного расслоения [img: http://localhost:8080/file/031505-473.jpg] и тем самым группоид [img: http://localhost:8080/file/031505-474.jpg] обслуживает всю категорию [img: http://localhost:8080/file/031505-475.jpg] Пусть [img: http://localhost:8080/file/031505-476.jpg] - категория всех кусочно гладких кривых базового многообразия В. Связностью в категории К(Х)гладких расслоений в самом общем смысле наз. любой функтор [img: http://localhost:8080/file/031505-477.jpg] тождественный по базе [img: http://localhost:8080/file/031505-478.jpg]. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031505-479.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031505-480.jpg] - канонпч. проекция группоида Т(Х)на свою базу [img: http://localhost:8080/file/031505-481.jpg], определяемая тем условием, что если [img: http://localhost:8080/file/031505-482.jpg] Тем самым многообразие Вотождествляется с подмногообразием [img: http://localhost:8080/file/031505-483.jpg] всех левых и правых единиц группоида [img: http://localhost:8080/file/031505-484.jpg]. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031505-485.jpg] - векторное расслоение над [img: http://localhost:8080/file/031505-486.jpg], образованное слоями вида [img: http://localhost:8080/file/031505-487.jpg] - расслоенное над Впространство р-скоростей многообразия В(элементами [img: http://localhost:8080/file/031505-488.jpg] являются регулярные р-струи всевозможных гладких отображений [img: http://localhost:8080/file/031505-489.jpg] с источником [img: http://localhost:8080/file/031505-490.jpg]). Расслоения [img: http://localhost:8080/file/031505-491.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031505-492.jpg] обладают ка-нонич. проекциями на касательное расслоение T(B) [img: http://localhost:8080/file/031505-493.jpg] Связность [img: http://localhost:8080/file/031505-494.jpg] наз. нелинейной связностью порядка р=1, 2, 3,..., если р- наименьшее число, для к-рого функтор [img: http://localhost:8080/file/031505-495.jpg] определяет гладкое отображение [img: http://localhost:8080/file/031505-496.jpg] такое, что [img: http://localhost:8080/file/031505-497.jpg]. Функтор [img: http://localhost:8080/file/031505-498.jpg] в свою очередь определяется соответствующим ему отображением [img: http://localhost:8080/file/031505-499.jpg] В случае, когда р = 1 и отображение [img: http://localhost:8080/file/031505-500.jpg] послойно линейное, связность вырождается в линейную связность на категории К(Х). В изучении евойств Н. с. и в их классификации фундаментальную роль играют структурные уравнения отображений [img: http://localhost:8080/file/031505-501.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031505-502.jpg], записанные в форме уравнений Пфаффа, связывающих дифференциалы относительных координат геометрич. объектов, описывающих расслоения [img: http://localhost:8080/file/031505-503.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031505-504.jpg]. В терминах коэффициентов структурных уравнений с помощью операций их дифференциального продолжения и охватов установлено [2], что Н. с. [img: http://localhost:8080/file/031505-505.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/031505-506.jpg] порождает линейную связность специальной структуры в главном G-расслоении [img: http://localhost:8080/file/031505-507.jpg] над базой [img: http://localhost:8080/file/031505-508.jpg], и этой линейной связностью полностью характеризуется. Найдены формы указанной линейной связности и их структурные уравнения. Доказан нелинейный аналог теоремы о группе голономии, в определении к-рой участвуют не только кривизна, но и линейная оболочка распределения горизонтальных конусов, заменяющих в нелинейном случае подпространства горизонтального распределения линейной связности.