Нелинейные колебания

- колебания в физич. системах, описываемые нелинейными системами обыкновенных дифференциальных уравнений [img: http://localhost:8080/file/031506-176.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031506-177.jpg] содержит члены не ниже 2-й степени по компонентам вектора [img: http://localhost:8080/file/031506-178.jpg] - вектор-функция времени [img: http://localhost:8080/file/031506-179.jpg] - малый параметр (либо [img: http://localhost:8080/file/031506-180.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031506-181.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031506-182.jpg]). Возможные обобщения связаны с рассмотрением разрывных систем, воздействий с разрывными характеристиками (напр., типа гистерезиса), запаздывания и случайных воздействий, интегро-дифференциальных и дифференциально-операторных уравнений, колебательных систем с распределенными параметрами, описываемыми дифференциальными уравнениями с частными производными, а также с использованием методов оптимального управления нелинейными колебательными системами. Основные общие задачи Н. к.: отыскание положений равновесия, стационарных режимов, в частности периодич. движений, автоколебаний и исследование их устойчивости, проблемы синхронизации и стабилизации Н. к. Все физич. системы, строго говоря, являются нелинейными. Одна из наиболее характерных особенно--стей Н. к.- это нарушение в них принципа суперпозиции колебаний: результат каждого из воздействий в присутствии другого оказывается иным, чем в случае отсутствия другого воздействия. Квазилинейные системы - системы (1) при [img: http://localhost:8080/file/031506-183.jpg]. Основным методом исследования является малого параметра метод. Прежде всего это метод Пуанкаре - Линдштедта определения переодич. решений квазилинейных систем, аналитических по параметру при его достаточно малых значениях, либо в виде рядов по степеням [img: http://localhost:8080/file/031506-184.jpg] (см. [1] гл. IX), либо в виде рядов по степеням [img: http://localhost:8080/file/031506-185.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031506-186.jpg] - добавок к начальным значениям компонент вектора [img: http://localhost:8080/file/031506-187.jpg] (см. [1] гл. III). О дальнейшем развитии этого метода см., напр., в [2] - [4]. Другим из методов малого параметра является метод осреднения. Вместе с тем в исследование квазилинейных систем проникали и новые методы: асимптотич. методы (см. [5], [6]), метод К-функций (см. [7]), базирующийся на фундаментальных результатах А. М. Ляпунова - Н. Г. Четаева, и др. Существенно нелинейные системы, в к-рых отсутствует заранее предписываемый малый параметр [img: http://localhost:8080/file/031506-188.jpg]. Для систем Ляпунова [img: http://localhost:8080/file/031506-189.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031506-190.jpg] причем среди собственных чисел [img: http://localhost:8080/file/031506-191.jpg] -матрицы [img: http://localhost:8080/file/031506-192.jpg] нет кратных корню [img: http://localhost:8080/file/031506-193.jpg] - аналитич. вектор-функция х, разложение к-рой начинается с членов не ниже 2-го порядка, и имеет место аналитический первый интеграл специального вида, А. М. Ляпунов (см. [8] § 42) предложил метод отыскания периодич. решений в виде ряда по степеням произвольной постоянной с(за к-рую может быть принято начальное значение одной из двух крнтич. переменных [img: http://localhost:8080/file/031506-194.jpg] либо [img: http://localhost:8080/file/031506-195.jpg]). Для систем, близких к системам Ляпунова, [img: http://localhost:8080/file/031506-196.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031506-197.jpg] того же вида, что и в (2), [img: http://localhost:8080/file/031506-198.jpg] - аналитич. вектор-функция [img: http://localhost:8080/file/031506-199.jpg] и малого параметра [img: http://localhost:8080/file/031506-200.jpg], непрерывная и [img: http://localhost:8080/file/031506-201.jpg] -периодическая по t, также предложен метод определения периодич. решений (см. [4] гл. VIII). Системы типа Ляпунова (2), в к-рых матрица [img: http://localhost:8080/file/031506-202.jpg] имеет lнулевых собственных значений с простыми элементарными делителями, два - чисто мнимых собственных значения [img: http://localhost:8080/file/031506-203.jpg] и не имеет собственных значений, кратных [img: http://localhost:8080/file/031506-204.jpg] - такая же, как и в (2), могут быть сведены к системам Ляпунова (см. [9] [img: http://localhost:8080/file/031506-205.jpg] IV.2). Исследовались также Н. к. в системах Ляпунова и в т. н. системах Ляпунова с демпфированием, а также решалась общая задача о перекачке энергии в них (см. [9] гл. I, III, IV). Пусть существенно нелинейная автономная система приведена к жорданову виду ее линейной части [img: http://localhost:8080/file/031506-206.jpg] где вектор [img: http://localhost:8080/file/031506-207.jpg] по предположению имеет хотя бы одну ненулевую компоненту;, [img: http://localhost:8080/file/031506-208.jpg] равны нулю или единице соответственно при отсутствии пли наличии непростых элементарных делителей матрицы линейной части, [img: http://localhost:8080/file/031506-209.jpg] - коэффициенты; множество [img: http://localhost:8080/file/031506-210.jpg] значений вектора [img: http://localhost:8080/file/031506-211.jpg] с целочисленными компонентамп таково: [img: http://localhost:8080/file/031506-212.jpg] Тогда существует нормализующее преобразование: [img: http://localhost:8080/file/031506-213.jpg] приводящее (3) к нормальной форме дифференциальных уравнений [img: http://localhost:8080/file/031506-214.jpg] и такое, что [img: http://localhost:8080/file/031506-215.jpg], если [img: http://localhost:8080/file/031506-216.jpg]. Таким образом, нормальная форма (5) содержит лишь резонансные члены, т. е. коэффициенты [img: http://localhost:8080/file/031506-217.jpg] могут быть отличны от нуля лишь для тех [img: http://localhost:8080/file/031506-218.jpg], для к-рых выполнено резонансное уравнение [img: http://localhost:8080/file/031506-219.jpg] играющее существенную роль в теории колебаний. Сходимость и расходимость нормализующего преобразования (4) исследована (см. [10] ч. I, гл. II, III); дано вычисление коэффициентов [img: http://localhost:8080/file/031506-220.jpg] (посредством их симметризации) (см. [9] § 5.3). В ряде задач о Н. к. существенно нелинейных автономных систем оказался эффективным метод нормальных форм (см. [10], [9] гл. VI-VIII). Из других методов исследования существенно нелинейных систем применяются метод точечных отображений (см. [2], [11]), стробосконич. метод [12] и функционально-аналитич. методы [13]. Качественные методы Н. к. Исходными здесь являются исследования вида интегральных кривых нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, проведенные А. Пуанкаре (Н. Poincare, см. [14]). Приложения для задач Н. к., описываемых автономными системами 2-го порядка см. в [2], [15]. Изучены [16] вопросы существования периодич. решений и их устойчивости в большом для многомерных систем; рассмотрены [13] почти периодические Н. к. Приложения теории обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром при нек-рых производных к задачам релаксационных Н. к. см. в [17]. Важные аспекты Н. к. и лит. см. в статьях Возмущений теория, Колебаний теория.