Неподвижная точка

- 1) Н. т. отображения Fмножества X- такая точка [img: http://localhost:8080/file/031507-119.jpg], что [img: http://localhost:8080/file/031507-120.jpg]. Доказательства существования Н. т. и методы нахождения Н. т.- важные задачи математики, т. к. решение всякого уравнения [img: http://localhost:8080/file/031507-121.jpg] путем преобразования его к виду [img: http://localhost:8080/file/031507-122.jpg] сводится к нахождению Н. т. отображения [img: http://localhost:8080/file/031507-123.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/031507-124.jpg] - тождественный оператор. В зависимости от того, какой структурой наделено множество Xи каковы свойства отображения F, возникают те или иные принципы неподвижной точки. Наибольший интерес представляют случаи, когда X- топологич. пространство и F- непрерывный в том или ином смысле оператор. Простейшим из таких принципов является принцип сжимающих отображений. Пусть X- полное метрич. пространство и оператор [img: http://localhost:8080/file/031507-125.jpg] таков, что [img: http://localhost:8080/file/031507-126.jpg] Тогда оператор Fимеет в точности одну Н. т. [img: http://localhost:8080/file/031507-127.jpg] к-рая может быть получена как предел последовательных приближений [img: http://localhost:8080/file/031507-128.jpg] произвольно. Этим принципом не только устанавливается существование Н. т., но и указывается способ ее нахождения, причем довольно просто оценивается быстрота сходимости последовательности [img: http://localhost:8080/file/031507-129.jpg] В общем случае условие (1) нельзя заменить условием [img: http://localhost:8080/file/031507-130.jpg] но если Xкомпактно, то условие (2) по-прежнему обеспечивает наличие у оператора Fединственной Н. т. Более общим является принцип обобщенного сжатия. Пусть, как и выше, X- полное метрич. пространство, [img: http://localhost:8080/file/031507-131.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031507-132.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/031507-133.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031507-134.jpg] для [img: http://localhost:8080/file/031507-135.jpg] Тогда Fимеет единственную Н. т. Если X- банахово пространство, то условие (1) есть не что иное, как условие Липшица для оператора Fс константой, меньшей единицы. Принцип сжимающих отображений широко используется для доказательства существования и единственности решений алгебраических, дифференциальных, интегральных и других уравнений и для приближенного нахождения решений этих уравнений. Существуют другие условия топологич. характера, обеспечивающие существование Н. т. у оператора F. Наиболее известным из них является принцип Шаудера. Пусть X- банахово пространство и F- вполне непрерывный оператор, отображающий ограниченное выпуклое замкнутое множество [img: http://localhost:8080/file/031507-136.jpg] на свою часть. Тогда Fимеет в Схотя бы одну Н. т. Однако в этом случае вопрос о числе Н. т. остается открытым, и нет указаний о способе их нахождения. Пример (теорема Пеано). Пусть функция [img: http://localhost:8080/file/031507-137.jpg] непрерывна по совокупности переменных в области [img: http://localhost:8080/file/031507-138.jpg] в этой области. Если [img: http://localhost:8080/file/031507-139.jpg], то на отрезке [img: http://localhost:8080/file/031507-140.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031507-141.jpg] существует хотя бы одно решение уравнения [img: http://localhost:8080/file/031507-142.jpg] такое, что [img: http://localhost:8080/file/031507-143.jpg] Уравнение (4) вместе с условием (5) эквивалентно интегральному уравнению [img: http://localhost:8080/file/031507-144.jpg] Оператор [img: http://localhost:8080/file/031507-145.jpg] в условиях теоремы отображает шар [img: http://localhost:8080/file/031507-146.jpg] пространства [img: http://localhost:8080/file/031507-147.jpg] в себя и вполне непрерывен на этом шаре. Поэтому в силу принципа Шаудера существует Н. т. оператора F, к-рая и является решением задачи Коши (см. [4], [5]). Обобщением принципа Шаудера является принцип Тихонова. Пусть X- отделимое локально выпуклое пространство и F- непрерывный оператор, отображающий выпуклое компактное множество [img: http://localhost:8080/file/031507-148.jpg] в себя. Тогда Fимеет на Схотя бы одну Н. т. Существуют и другие обобщения принципа Шаудера, в том числе на многозначные отображения, однако во всех случаях необходимо предполагать выпуклость множества С, без чего теорема Шаудера и ее обобщения становятся неверными. Возможно комбинирование принципа Шаудера и принципа сжимающих отображений. Пусть оператор F, преобразующий ограниченное замкнутое выпуклое множество Сбанахова пространства X в себя, можно представить в виде [img: http://localhost:8080/file/031507-149.jpg] где F1 - вполне непрерывный и F2- сжимающий операторы. Тогда Fимеет в Схотя бы одну Н. т. Принципы шаудеровского типа могут быть следующим образом распространены на некомпактные операторы. Пусть М- ограниченное множество полного метрич. пространства X. Мерой некомпактности [img: http://localhost:8080/file/031507-150.jpg] этого множества наз. точная нижняя граница значений тех [img: http://localhost:8080/file/031507-151.jpg], при к-рых существует конечная [img: http://localhost:8080/file/031507-152.jpg] -сеть для М. Для компактных множеств [img: http://localhost:8080/file/031507-153.jpg] Оператор [img: http://localhost:8080/file/031507-154.jpg] наз. уплотняющим, если [img: http://localhost:8080/file/031507-155.jpg] для любого некомпактного ограниченного множества [img: http://localhost:8080/file/031507-156.jpg]. Пусть уплотняющий оператор Fпреобразует ограниченное выпуклое замкнутое множество [img: http://localhost:8080/file/031507-157.jpg] в себя. Тогда Fимеет в Схотя бы одну Н. т. В банаховых пространствах можно вводить и другие меры некомпактности, варьируя к-рые, можно получать разные варианты теоремы, позволяющие доказывать существование решений различных дифференциальных, интегральных и иных уравнений с не вполне непрерывными операторами. Привлечение более тонких топологич. понятий позволяет сформулировать более сильные признаки существования Н. т. Пусть на границе [img: http://localhost:8080/file/031507-158.jpg] ограниченной области Мбанахова пространства Xзадано невырожденное векторное поле Ф, т. е. каждой точке [img: http://localhost:8080/file/031507-159.jpg] поставлен в соответствие ненулевой вектор Ф (х). Такому полю при выполнении нек-рых условий можно соотнести целое число, наз. вращением [img: http://localhost:8080/file/031507-160.jpg] поля Ф на [img: http://localhost:8080/file/031507-161.jpg]. Пусть сначала Xконечномерно и Ф непрерывно на [img: http://localhost:8080/file/031507-162.jpg]. Тогда [img: http://localhost:8080/file/031507-163.jpg] определяется как топологич. степень отображения [img: http://localhost:8080/file/031507-164.jpg] множества [img: http://localhost:8080/file/031507-165.jpg] на единичную сферу [img: http://localhost:8080/file/031507-166.jpg]. Пусть теперь X- банахово бесконечномерное пространство и [img: http://localhost:8080/file/031507-167.jpg], где F- вполне непрерывный на [img: http://localhost:8080/file/031507-168.jpg] оператор. Такие поля наз. вполне непрерывными. Пусть конечномерное подпространство [img: http://localhost:8080/file/031507-169.jpg] достаточно хорошо аппроксимирует [img: http://localhost:8080/file/031507-170.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031507-171.jpg] - оператор проектирования [img: http://localhost:8080/file/031507-172.jpg] на [img: http://localhost:8080/file/031507-173.jpg]. Если [img: http://localhost:8080/file/031507-174.jpg] достаточно мало для [img: http://localhost:8080/file/031507-175.jpg], то поле [img: http://localhost:8080/file/031507-176.jpg] также невырождено на [img: http://localhost:8080/file/031507-177.jpg] и его вращение [img: http://localhost:8080/file/031507-178.jpg] не зависит от выбора аппроксимирующих подпространств [img: http://localhost:8080/file/031507-179.jpg] и оператора [img: http://localhost:8080/file/031507-180.jpg]. Это число [img: http://localhost:8080/file/031507-181.jpg] наз. вращением вполне непрерывного векторного поля Ф на границе [img: http://localhost:8080/file/031507-182.jpg] и обозначается [img: http://localhost:8080/file/031507-183.jpg]. Важным свойством вращения является то, что оно не меняется при гомотопных преобразованиях поля Ф. Принцип Лере - Шаудера. Пусть на замыкании [img: http://localhost:8080/file/031507-184.jpg] ограниченной области Мбанахова пространства Xзадано вполне непрерывное векторное поле Ф, невырожденное на [img: http://localhost:8080/file/031507-185.jpg], и пусть [img: http://localhost:8080/file/031507-186.jpg] Тогда Ф обращается в нуль по крайней мере в одной точке [img: http://localhost:8080/file/031507-187.jpg], т. е. оператор Fимеет в Мхотя бы одну Н. т. Инвариантность вращения при гомотопных преобразованиях позволяет вычислять вращение следующим образом. По заданному полю [img: http://localhost:8080/file/031507-188.jpg] строится континуум полей [img: http://localhost:8080/file/031507-189.jpg] так, что все эти поля гомотопны друг другу и [img: http://localhost:8080/file/031507-190.jpg] при нек-ром [img: http://localhost:8080/file/031507-191.jpg]. Если при другом [img: http://localhost:8080/file/031507-192.jpg] вращение поля [img: http://localhost:8080/file/031507-193.jpg] легко вычисляется и равно k, то также [img: http://localhost:8080/file/031507-194.jpg]. Этим приемом, использовавшим степень отображения для установления наличия Н. т. у вполне непрерывных операторов, получено доказательство существования решений ряда довольно сложных дифференциальных уравнений с частными производными высших порядков. Усиливая требования, предъявляемые к пространству, можно ослабить ограничения, налагаемые на оператор. Напр., оператор Fназ. нерастягивающим, если [img: http://localhost:8080/file/031507-195.jpg]. Пусть банахово пространство равномерно выпукло (напр., гильбертово) и F- нерастягивающий оператор, преобразующий ограниченное замкнутое выпуклое множество [img: http://localhost:8080/file/031507-196.jpg] в себя. Тогда Fимеет на Схотя бы одну Н. т. Все предыдущие принципы Н. т. предполагали непрерывность оператора F. Если наделить Xструктурой частично упорядоченного множества, то в нек-рых случаях требование непрерывности можно опустить. Принцип Биркгофа - Тарского. Пусть X- полная решетка и F - изотонный оператор из Xв X. Тогда Fимеет по крайней мере одну Н. т. Имеет место следующий вариант этого принципа. Пусть X- условно полная решетка, т. е. всякое ограниченное подмножество множества X имеет в X точную верхнюю и нижнюю границы. Если F- изотонный оператор, отображающий порядковый интервал [img: http://localhost:8080/file/031507-197.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031507-198.jpg] в себя, то Fимеет на [img: http://localhost:8080/file/031507-199.jpg] по крайней мере одну Н. т. Комбинирование топологич. условий с порядковыми приводит к новым принципам Н. т. Напр., пусть X- частично упорядоченное банахово пространство и F- непрерывный изотонный оператор, отображающий порядковый интервал [img: http://localhost:8080/file/031507-200.jpg] в себя. Если полуупорядочивание пространства Xправильное, т. е. всякая монотонно возрастающая порядково ограниченная последовательность [img: http://localhost:8080/file/031507-201.jpg] сходится по норме пространства X, то оператор Fимеет на [а, b]хотя бы одну Н. т. При этом условия теоремы не требуют решеточной упорядоченности пространства X, т. е. не для всяких двух элементов [img: http://localhost:8080/file/031507-202.jpg] должен в Xсуществовать их sup и inf. Наконец, Н. т. линейного оператора Fесть собственный элемент этого оператора, соответствующий собственному значению, равному единице.