Непрерывная функция

- одно из основных понятий математического анализа. Пусть действительная функция f определена на нек-ром подмножестве Едействительных чисел [img: http://localhost:8080/file/031507-254.jpg], т. е. [img: http://localhost:8080/file/031507-255.jpg]. Функция f наз. непрерывной в точке [img: http://localhost:8080/file/031507-256.jpg] (или, подробнее, непрерывной в точке [img: http://localhost:8080/file/031507-257.jpg] по множеству Е), если для любого числа [img: http://localhost:8080/file/031507-258.jpg] существует такое число [img: http://localhost:8080/file/031507-259.jpg], что для всех точек [img: http://localhost:8080/file/031507-260.jpg], удовлетворяющих условию [img: http://localhost:8080/file/031507-261.jpg] выполняется неравенство Если обозначить [img: http://localhost:8080/file/031507-262.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031507-263.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031507-264.jpg] соответственно [img: http://localhost:8080/file/031507-265.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031507-266.jpg] -окрестности точек [img: http://localhost:8080/file/031507-267.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031507-268.jpg], то данное определение можно перефразировать следующим образом: функция f наз. непрерывной в точке [img: http://localhost:8080/file/031507-269.jpg] если для любой [img: http://localhost:8080/file/031507-270.jpg] -окрестности [img: http://localhost:8080/file/031507-271.jpg] точки [img: http://localhost:8080/file/031507-272.jpg] существует такая [img: http://localhost:8080/file/031507-273.jpg] -окрестность [img: http://localhost:8080/file/031507-274.jpg] точки [img: http://localhost:8080/file/031507-275.jpg], что [img: http://localhost:8080/file/031507-276.jpg] Используя понятие предела, можно сказать, что функция /непрерывна в точке х 0, если в этой точке существует ее предел по множеству Еи этот предел равен [img: http://localhost:8080/file/031507-277.jpg]: [img: http://localhost:8080/file/031507-278.jpg] Это равносильно тому, что [img: http://localhost:8080/file/031507-279.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031507-280.jpg] т. е. бесконечно малому приращению аргумента в точке х 0 соответствует бесконечно малое приращение функции. В терминах предела последовательности определение Н. ф. в точке [img: http://localhost:8080/file/031507-281.jpg]: функция fнепрерывна в точке [img: http://localhost:8080/file/031507-282.jpg], если для любой последовательности точек [img: http://localhost:8080/file/031507-283.jpg] имеет место [img: http://localhost:8080/file/031507-284.jpg] Все приведенные определения Н. ф. в точке эквивалентны между собой. Если функция f непрерывна в точке [img: http://localhost:8080/file/031507-285.jpg] по множеству [img: http://localhost:8080/file/031507-286.jpg] (соответственно по множеству [img: http://localhost:8080/file/031507-287.jpg]), то функция [img: http://localhost:8080/file/031507-288.jpg] наз. непрерывной справа (слева) в точке [img: http://localhost:8080/file/031507-289.jpg] Все основные элементарные функции являются непрерывными во всех точках их областей определения. Важным свойством Н. ф. является замкнутость класса непрерывных функций относительно арифметич. операций и операции композиции функций. Более точно, если действительные функции [img: http://localhost:8080/file/031507-290.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031507-291.jpg], непрерывны в точке [img: http://localhost:8080/file/031507-292.jpg], то их сумма [img: http://localhost:8080/file/031507-293.jpg] и произведение [img: http://localhost:8080/file/031507-294.jpg], а при [img: http://localhost:8080/file/031507-295.jpg] и частное [img: http://localhost:8080/file/031507-296.jpg] (заведомо определенное в пересечении нек-рой окрестности точки х 0 с множеством Е)непрерывны в точке х 0. Если, как и выше, функция [img: http://localhost:8080/file/031507-297.jpg] непрерывна в точке [img: http://localhost:8080/file/031507-298.jpg] а функция [img: http://localhost:8080/file/031507-299.jpg] такова, что [img: http://localhost:8080/file/031507-300.jpg] и, следовательно, имеет смысл композиция [img: http://localhost:8080/file/031507-301.jpg], причем существует такое [img: http://localhost:8080/file/031507-302.jpg] и функция [img: http://localhost:8080/file/031507-303.jpg] непрерывна в точке t0, то композиция [img: http://localhost:8080/file/031507-304.jpg] также непрерывна в точке t0. Таким образом, в этом случае [img: http://localhost:8080/file/031507-305.jpg] т. е. в этом смысле операция предельного перехода перестановочна с операцией взятия Н. ф. Из перечисленных свойств Н. ф. следует, что не только основные, но и любые элементарные функции непрерывны в области их определения. Сохраняется свойстве непрерывности и при равномерном предельном переходе: если последовательность функций [img: http://localhost:8080/file/031507-306.jpg] равномерно сходится на множестве Еи каждая функция [img: http://localhost:8080/file/031507-307.jpg] непрерывна в точке [img: http://localhost:8080/file/031507-308.jpg] то и предельная функция [img: http://localhost:8080/file/031507-309.jpg] непрерывна в этой точке. Если функция [img: http://localhost:8080/file/031507-310.jpg] непрерывна в каждой точке множества Е, то она наз. непрерывной на множестве Е. Если [img: http://localhost:8080/file/031507-311.jpg] и функция f непрерывна в точке х 0, то сужение функции f на множестве Е' также непрерывно при [img: http://localhost:8080/file/031507-312.jpg]. (Обратное, вообще говоря, неверно. Напр., сужение Дирихле функции как на множестве рациональных, так и иррациональных точек непрерывно, а сама функция Дирихле разрывна во всех точках. Важный класс действительных Н. ф. одного переменного образуют функции, непрерывные на отрезках. Они обладают следующими свойствами. Первая теорема Вейерштрасса: функция, непрерывная на отрезке, ограничена на нем. Вторая теорема Вейерштрасса: функция, непрерывная на отрезке, принимает на нем наибольшее и наименьшее значения. Теорема Коши о промежуточных значениях: функция, непрерывная на отрезке, принимает на нем любое значение, заключенное между значениями, к-рые она принимает на концах отрезка. Теорема об обратной функции: если функция непрерывна и строго монотонна на отрезке, то у нее существует однозначная обратная функция, к-рая также определена на нек-ром отрезке, строго монотонна и непрерывна на нем. Теорема Кантора о равномерной непрерывности: функция, непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на нем. Всякая функция, непрерывная на отрезке, может быть равномерно сколь угодно точно приближена алгебраич. многочленом, а всякая функция f, непрерывная на отрезке [img: http://localhost:8080/file/031507-313.jpg] и такая, что [img: http://localhost:8080/file/031507-314.jpg] может быть равномерно сколь угодно точно приближена тригонометрич. полиномами (см. Вейерштрасса теорема о приближении функций). Понятие Н. ф. обобщается на более общие виды функций, прежде всего на функции многих переменных. Сформулированное выше определение Н. ф. формально сохраняется, если под Епонимать подмножество и-мерного евклидова пространства [img: http://localhost:8080/file/031507-315.jpg], под [img: http://localhost:8080/file/031507-316.jpg] - расстояние в этом пространстве между точками [img: http://localhost:8080/file/031507-317.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031507-318.jpg], под [img: http://localhost:8080/file/031507-319.jpg] - [img: http://localhost:8080/file/031507-320.jpg] -окрестность в [img: http://localhost:8080/file/031507-321.jpg] точки [img: http://localhost:8080/file/031507-322.jpg] а под [img: http://localhost:8080/file/031507-323.jpg] понимать предел последовательности точек в пространстве [img: http://localhost:8080/file/031507-324.jpg]. Функция [img: http://localhost:8080/file/031507-325.jpg], многих переменных [img: http://localhost:8080/file/031507-326.jpg] непрерывная в точке [img: http://localhost:8080/file/031507-327.jpg] наз. также непрерывной в этой точке по совокупности переменных [img: http://localhost:8080/file/031507-328.jpg] в отличие от функций многих переменных, непрерывных по отдельным переменным. Функция [img: http://localhost:8080/file/031507-329.jpg] наз. непрерывной в точке х 0, напр., п о переменной х 1, если в точке [img: http://localhost:8080/file/031507-330.jpg] непрерывно сужение функции f на множестве [img: http://localhost:8080/file/031507-331.jpg] т. е. в точке [img: http://localhost:8080/file/031507-332.jpg] непрерывна функция [img: http://localhost:8080/file/031507-333.jpg] одного переменного [img: http://localhost:8080/file/031507-334.jpg]. Функция [img: http://localhost:8080/file/031507-335.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031507-336.jpg], может быть непрерывной в точке хпо каждому переменному [img: http://localhost:8080/file/031507-337.jpg] но может не быть непрерывной в этой точке по совокупности переменных. Определение Н. ф. непосредственно переносится на комплекснозначные функции. Следует лишь в данном выше определении под [img: http://localhost:8080/file/031507-338.jpg] понимать абсолютную величину комплексного числа [img: http://localhost:8080/file/031507-339.jpg], а под [img: http://localhost:8080/file/031507-340.jpg] - предел в комплексной плоскости. Все эти определения являются частным случаем более общего понятия Н. ф. f, областью определения которой является некоторое топологическое пространство Xи значения которой принадлежат некоторому топологическому пространству Y (см. Непрерывное отображение). На непрерывные отображения топологич. пространств переносятся многие свойства действительных Н. ф. одного переменного. Обобщение упомянутых выше теорем Вейерштрасса: непрерывный образ бикомпактного топологич. пространства в хаусдорфовом топологич. пространстве является бикомпактом. Обобщение теоремы Коши о промежуточных значениях непрерывной на отрезке функции: непрерывный образ в топологич. пространстве связного топологич. пространства также связен. Обобщение теоремы о функции, обратной к непрерывной строго монотонной функции: взаимно однозначное непрерывное отображение бикомпакта на топологич. хаусдорфово пространство есть гомеоморфизм. Обобщение теоремы о пределе равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций: если [img: http://localhost:8080/file/031507-341.jpg] -равномерно сходящаяся последовательность непрерывных в точке [img: http://localhost:8080/file/031507-342.jpg] отображений топологич. пространства Xв метрич. пространство Y, то предельное отображение [img: http://localhost:8080/file/031507-343.jpg] также непрерывно в точке x0. Обобщением теоремы Вейерштрасса о приближении функций непрерывных на отрезке многочленами является Вейерштрасса- Стоуна теорема.