Непрерывные аналоги итерационных методов

- непрерывные модели, позволяющие исследовать вопросы существования решений нелинейных уравнений, проводить с помощью развитого аппарата непрерывного анализа предварительные исследования сходимости и оптимальности итерационных методов, получать новые классы итерационных методов. Можно установить соответствие между методами решения стационарных задач путем установления (см. Установления метод)и нек-рыми итерационными методами (см. [1], [2]). Напр., для решения линейного уравнения [img: http://localhost:8080/file/031508-77.jpg] с положительно определенным самосопряженным оператором Аизвестны сходящиеся при достаточно малых [img: http://localhost:8080/file/031508-78.jpg] двучленные итерационные методы вида [img: http://localhost:8080/file/031508-79.jpg] Если ввести непрерывное время t, а величины [img: http://localhost:8080/file/031508-80.jpg] рассматривать как значение нек-рой функции [img: http://localhost:8080/file/031508-81.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/031508-82.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/031508-83.jpg] если положить [img: http://localhost:8080/file/031508-84.jpg] где непрерывная функция [img: http://localhost:8080/file/031508-85.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/031508-86.jpg], то при переходе к пределу в (2) при [img: http://localhost:8080/file/031508-87.jpg] получают Н. а. и. м. (2): [img: http://localhost:8080/file/031508-88.jpg] И если [img: http://localhost:8080/file/031508-89.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/031508-90.jpg] стремится к [img: http://localhost:8080/file/031508-91.jpg] - решению уравнения (1). Двучленным градиентным итерационным методам минимизации функции F(u): [img: http://localhost:8080/file/031508-92.jpg] аналогичным образом можно сопоставить Н. а. и. м. вида [img: http://localhost:8080/file/031508-93.jpg] Здесь функция [img: http://localhost:8080/file/031508-94.jpg] влияет лишь на параметризацию линии наискорейшего спуска. Для решения уравнения (1) можно взять [img: http://localhost:8080/file/031508-95.jpg] тогда формулы (4) примут вид (2), а уравнение (5) - вид (3). Трехчленные итерационные методы: [img: http://localhost:8080/file/031508-96.jpg] с помощью преобразований можно записать в виде [img: http://localhost:8080/file/031508-97.jpg] где величины [img: http://localhost:8080/file/031508-98.jpg] определяются (неоднозначно) по параметрам [img: http://localhost:8080/file/031508-99.jpg] метода (6). Переход в (7) к пределу при [img: http://localhost:8080/file/031508-100.jpg] приводит к Н. а. и. м. вида [img: http://localhost:8080/file/031508-101.jpg] Метод установления с использованием уравнения типа (8) носит название метода тяжелого шарика (см. [2]). Существуют итерационные методы, для к-рых Н. а. и. м. содержат дифференциальные операторы более высоких порядков (см. [3]). Источником получения дифференциальных уравнений, играющих роль Н. а. и. м., может быть метод продолжения по параметру (см. [4], [5]). В этом методе для нахождения решения уравнения [img: http://localhost:8080/file/031508-102.jpg] строят уравнение [img: http://localhost:8080/file/031508-103.jpg] зависящее от параметра [img: http://localhost:8080/file/031508-104.jpg] и такое, что при [img: http://localhost:8080/file/031508-105.jpg] решение [img: http://localhost:8080/file/031508-106.jpg] известно: [img: http://localhost:8080/file/031508-107.jpg], а при [img: http://localhost:8080/file/031508-108.jpg] решения уравнений (9), (10) совпадают. Напр., можно взять [img: http://localhost:8080/file/031508-109.jpg] Дифференцируя уравнение (10) по параметру и считая [img: http://localhost:8080/file/031508-110.jpg],, получают дифференциальное уравнение для [img: http://localhost:8080/file/031508-111.jpg]; оно для случая (11) примет вид [img: http://localhost:8080/file/031508-112.jpg] Разбивая отрезок [0, 1] на пчастей точками [img: http://localhost:8080/file/031508-113.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031508-114.jpg] и применяя к уравнению (12) одну из формул численного интегрирования по точкам [img: http://localhost:8080/file/031508-115.jpg] (метод Эйлера, Рунге - Кутта и т. п.), получают рекуррентные соотношения между величинами [img: http://localhost:8080/file/031508-116.jpg], к-рые используют для построения формул итерационного метода. Так, после применения метода Эйлера уравнение (12) заменится соотношениями [img: http://localhost:8080/file/031508-117.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031508-118.jpg] к-рые определяют следующий двуступенчатый итерационный метод, содержащий внутренний п внешний циклы итераций: [img: http://localhost:8080/file/031508-119.jpg] При [img: http://localhost:8080/file/031508-120.jpg] этот метод превращается в классич. метод Ньютона. Н. а. и. м. Ньютона может быть получен и другим путем: в формуле (11) заменяется переменная [img: http://localhost:8080/file/031508-121.jpg] Тогда дифференциальное уравнение (12) принимает вид [img: http://localhost:8080/file/031508-122.jpg] Численное интегрирование уравнения (15) методом Эйлера по точкам tk приводит к итерационному методу [img: http://localhost:8080/file/031508-123.jpg] совпадающему при [img: http://localhost:8080/file/031508-124.jpg] с классич. методом Ньютона. Н. а. и. м. решения краевых задач для дифференциальных уравнений математич. физики являются, как правило, смешанными задачами для уравнений с частными производными специального вида (напр., с быстро осциллирующими коэффициентами или с малыми коэффициентами при старших производных). См. также ст. Замыкание вычислительного алгоритма.