Непрерывных функций пространство

- нормированное пространство [img: http://localhost:8080/file/031508-208.jpg] ограниченных непрерывных на топологич. пространстве Xфункций [img: http://localhost:8080/file/031508-209.jpg] с нормой [img: http://localhost:8080/file/031508-210.jpg]. Сходимость последовательности [img: http://localhost:8080/file/031508-211.jpg] в пространстве С(X)означает равномерную сходимость. Пространство С(Х). является коммутативной банаховой алгеброй с единицей. Если X- бикомпакт, то всякая непрерывная на нем функция [img: http://localhost:8080/file/031508-212.jpg] ограничена и, следовательно, пространство С(Х)совпадает с пространством всех непрерывных на Xфункций. В случае, когда Х=[ а, b]- отрезок действительных чисел, пространство С(X)обозначается С[ а, b]. Множество всех целых неотрицательных степеней [img: http://localhost:8080/file/031508-213.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031508-214.jpg] образует согласно Вейерштрасса теореме о приближении непрерывных функций многочленами полную систему в пространстве С[a, b](это означает, что множество линейных комбинаций указанных степеней, т. е. многочлены, образует в С[a, b]всюду плотное множество), следовательно, пространство С[a, b]сепарабельно. В пространстве С [a, b]существует базис, напр. Фабера- Шаудера система функций образует базис в пространстве С[0, 1]. Критерий компактности в пространстве С[a, b]дается соответствующей теоремой Арцела: для того чтобы нек-рое семейство функций [img: http://localhost:8080/file/031508-215.jpg] было компактным относительно пространства С[a, b], необходимой достаточно, чтобы это семейство было равномерно ограничено и равностепенно непрерывно. Этот критерий обобщается на случай метрич. пространства С(Х, Y) непрерывных отображений метрич. компакта Xв метрич. компакт Y. Для компактности замкнутого подмножества Апространства С(X, Y) необходимо и достаточно, чтобы входящие в Аотображения были равностепенно непрерывны. Расстояние между отображениями f и gиз пространства С(Х, Y) задается формулой [img: http://localhost:8080/file/031508-216.jpg]