Неприводимый многочлен

- многочлен [img: http://localhost:8080/file/031508-234.jpg] от ппеременных над полем к, являющийся простым элементом кольца [img: http://localhost:8080/file/031508-235.jpg] т. е. непредставимый в виде произведения [img: http://localhost:8080/file/031508-236.jpg], где gи h- многочлены с коэффициентами из k, отличные от константы (неприводимость над k). Многочлен наз. абсолютно неприводимым, если он неприводим над алгебраич. замыканием поля коэффициентов. Абсолютно Н. м. одной переменной - это многочлены 1-й степени и только они. В случае нескольких переменных существуют абсолютно Н. м. сколь угодно высокой степени, напр, любой многочлен вида [img: http://localhost:8080/file/031508-237.jpg] абсолютно неприводим. Кольцо многочленов [img: http://localhost:8080/file/031508-238.jpg] факториально: любой многочлен разлагается в произведение Н. м., причем это разложение определено однозначно с точностью до постоянных множителей. Над полем действительных чисел любой Н. м. одной переменной имеет степень 1 или 2, причем многочлен 2-й степени неприводим тогда и только тогда, когда он имеет отрицательный дискриминант. Над любым полем алгебраич. чисел существуют Н. м. сколь угодно высокой степени; напр., многочлен [img: http://localhost:8080/file/031508-239.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/031508-240.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031508-241.jpg] - нек-рое простое число, неприводим в силу критерия Эйзенштейна (см. Алгебраическое уравнение). Пусть А- целозамкнутое кольцо с полем частных кп [img: http://localhost:8080/file/031508-242.jpg] - многочлен одной переменной со старшим коэффициентом 1. Если [img: http://localhost:8080/file/031508-243.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/031508-244.jpg], причем g(x)и h(х)имеют старший коэффициент 1, то [img: http://localhost:8080/file/031508-245.jpg] Редукционный критерий неприводимости. Пусть задан гомоморфизм областей целостности [img: http://localhost:8080/file/031508-246.jpg]. Если степень многочлена [img: http://localhost:8080/file/031508-247.jpg] совпадает со степенью многочлена [img: http://localhost:8080/file/031508-248.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031508-249.jpg] неприводим над полем частных области В, то не существует разложения [img: http://localhost:8080/file/031508-250.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031508-251.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031508-252.jpg] отличны от константы. Напр., многочлен [img: http://localhost:8080/file/031508-253.jpg] со старшим коэффициентом 1 прост в [img: http://localhost:8080/file/031508-254.jpg] (и, следовательно, неприводим в [img: http://localhost:8080/file/031508-255.jpg]), если для нек-рого простого р неприводим многочлен [img: http://localhost:8080/file/031508-256.jpg], полученный из f(х)редукцией коэффициентов по модулю р.