Несобственный интеграл

- интеграл от неограниченной функции или от функции по неограниченному множеству. Пусть функция f определена на конечном или бесконечном полуинтервале [img: http://localhost:8080/file/031509-210.jpg], [img: http://localhost:8080/file/031509-211.jpg] и для любого [img: http://localhost:8080/file/031509-212.jpg] функция f интегрируема но Риману (по Лебегу) на отрезке [img: http://localhost:8080/file/031509-213.jpg] Тогда предел [img: http://localhost:8080/file/031509-214.jpg] (в случае [img: http://localhost:8080/file/031509-215.jpg] условие [img: http://localhost:8080/file/031509-216.jpg] понимается как [img: http://localhost:8080/file/031509-217.jpg]) наз. несобственным интегралом [img: http://localhost:8080/file/031509-218.jpg] Если предел (1) существует, то говорят, что Н. и. сходится, если не существует - расходится. Напр., Н. и. [img: http://localhost:8080/file/031509-219.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/031509-220.jpg] сходится, а при [img: http://localhost:8080/file/031509-221.jpg] расходится. Если же [img: http://localhost:8080/file/031509-222.jpg], то [img: http://localhost:8080/file/031509-223.jpg] сходится при [img: http://localhost:8080/file/031509-224.jpg] и расходится при [img: http://localhost:8080/file/031509-225.jpg]. Если [img: http://localhost:8080/file/031509-226.jpg] и функция f интегрируема по Риману (по Лебегу) на отрезке [ а, b], то Н. и. (1) совпадает с определенным интегралом. Аналогично при соответствующих предположениях определяют Н. и. по промежутку [img: http://localhost:8080/file/031509-227.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031509-228.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031509-229.jpg] Если функция/ интегрируема по Риману (по Лебегу) на каждом отрезке [img: http://localhost:8080/file/031509-230.jpg] и существуют то Н. и. [img: http://localhost:8080/file/031509-232.jpg] определяется как сумма [img: http://localhost:8080/file/031509-233.jpg] и не зависит от выбора точки с. Если на интервале (а, b)имеется конечное число точек [img: http://localhost:8080/file/031509-234.jpg]: [img: http://localhost:8080/file/031509-235.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031509-236.jpg] таких, что функция f интегрируема по Риману (по Лебегу) на каждом отрезке [img: http://localhost:8080/file/031509-237.jpg], не содержащем ни одной точки [img: http://localhost:8080/file/031509-238.jpg], и для каждого [img: http://localhost:8080/file/031509-239.jpg] существуют Н. и. [img: http://localhost:8080/file/031509-240.jpg] то Н. и. [img: http://localhost:8080/file/031509-241.jpg] Это определение не зависит от выбора точек [img: http://localhost:8080/file/031509-242.jpg]. На Н. и. переносятся общие свойства интегралов: линейность, аддитивность относительно промежутков, по к-рым производится интегрирование, правило интегрирования неравенств, теоремы о среднем, интегрирование по частям и замены переменного, формула Ньютона - Лейбница. Напр., если функция f почти всюду на [ а, b)совпадает с производной функции F, к-рая абсолютно непрерывна на каждом отрезке [img: http://localhost:8080/file/031509-243.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/031509-244.jpg] Для выяснения сходимости Н. и. от знакопостоянных функций применяется признак сравнения: напр., для Н. и. вида (1) при выполнении условия [img: http://localhost:8080/file/031509-245.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031509-246.jpg] из сходимости Н. и. [img: http://localhost:8080/file/031509-247.jpg] следует сходимость Н. и. [img: http://localhost:8080/file/031509-248.jpg] функция [img: http://localhost:8080/file/031509-249.jpg] наз. в этом случае функцией сравнения. В качестве функции сравнения для интегралов (1) в случае конечного предела интегрирования bчасто используются функции [img: http://localhost:8080/file/031509-250.jpg]; для интегралов вида (2) в случае конечности предела интегрирования а- функции [img: http://localhost:8080/file/031509-251.jpg], при наличии одного или двух бесконечных пределов интегрирования - функции [img: http://localhost:8080/file/031509-252.jpg]. Из признака сравнения следует, напр., если для неотрицательной функции f, определенной при [img: http://localhost:8080/file/031509-253.jpg], существует предел [img: http://localhost:8080/file/031509-254.jpg] то при [img: http://localhost:8080/file/031509-255.jpg] Н. и. [img: http://localhost:8080/file/031509-256.jpg] вида (1) сходится, а при [img: http://localhost:8080/file/031509-257.jpg] Н. и. расходится. Необходимое и достаточное условие сходимости Н. и. дает критерий Коши. Так, Н. и. вида (1) сходится тогда и только тогда, когда для любого [img: http://localhost:8080/file/031509-258.jpg] существует такое [img: http://localhost:8080/file/031509-259.jpg] что для всех [img: http://localhost:8080/file/031509-260.jpg] выполняется неравенство [img: http://localhost:8080/file/031509-261.jpg] - Н. [img: http://localhost:8080/file/031509-262.jpg] наз. абсолютно сходящимся, если сходится Н. и. [img: http://localhost:8080/file/031509-263.jpg] Если Н. и, абсолютно сходится, то он сходится и совпадает с интегралом Лебега. Существуют Н. а для бесконечного: [img: http://localhost:8080/file/031509-265.jpg] Существуют различные признаки для установления сходимости Н. и. Так, если функции f и gопределены для [img: http://localhost:8080/file/031509-266.jpg], функция f имеет на полуоси [img: http://localhost:8080/file/031509-267.jpg] ограниченную первообразную, a g- монотонная функция, стремящаяся к нулю при [img: http://localhost:8080/file/031509-268.jpg] то Н. и. [img: http://localhost:8080/file/031509-269.jpg] сходится. Другой признак: если Н. и. [img: http://localhost:8080/file/031509-270.jpg] сходится, а функция gмонотонна и ограничена при [img: http://localhost:8080/file/031509-271.jpg], то Н. и. [img: http://localhost:8080/file/031509-272.jpg] сходится. Сходимость Н. и. можно выразить в терминах сходящихся рядов: напр., для того чтобы Н. и. (1) сходился, необходимо и достаточно, чтобы для любой последовательности [img: http://localhost:8080/file/031509-273.jpg] сходился ряд [img: http://localhost:8080/file/031509-274.jpg] причем в случае его сходимости сумма ряда совпадает с Н. и. (1). Понятие Н. и. обобщается для функций многих переменных. Пусть функция f определена на открытом (ограниченном или неограниченном) множестве G n -мерного евклидова пространства [img: http://localhost:8080/file/031509-275.jpg] и интегрируема по Риману на любом измеримом по Жордану множестве [img: http://localhost:8080/file/031509-276.jpg] Функцию f наз. интегрируемой в несобственном смысле по множеству G, если для любой последовательности измеримых по Жордану множеств [img: http://localhost:8080/file/031509-277.jpg] таких, что [img: http://localhost:8080/file/031509-278.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031509-279.jpg] существует предел [img: http://localhost:8080/file/031509-280.jpg] не зависящий от выбора указанной последовательности [img: http://localhost:8080/file/031509-281.jpg]. Этот предел, если он существует, наз. Н. и. [img: http://localhost:8080/file/031509-282.jpg] и, как в одномерном случае, говорят, что этот интеграл сходится. Он существует тогда и только тогда, когда существует интеграл [img: http://localhost:8080/file/031509-283.jpg] В этом случае Н. и. [img: http://localhost:8080/file/031509-284.jpg] совпадает с интегралом Лебега. Это обстоятельство связано с тем, что при n=1 и данном выше определении Н. и. переход к пределу осуществлялся по весьма специальному классу измеримых по Жордану множеств, а именно по отрезкам. В качестве же [img: http://localhost:8080/file/031509-285.jpg] были взяты произвольные измеримые по Жордану множества. Впрочем, при [img: http://localhost:8080/file/031509-286.jpg] сделанное утверждение остается в силе и в том случае, когда в качестве множеств [img: http://localhost:8080/file/031509-287.jpg] взяты только измеримые по Жордану области. Таким образом, в этом случае понятие Н. и. не приводит к новому понятию по сравнению с интегралом Лебега. Для Н. и. от функции многих переменных справедлив признак сравнения, аналогичный одномерному случаю. В качестве интегралов сравнения берут [img: http://localhost:8080/file/031509-288.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031509-289.jpg] Первый сходится при [img: http://localhost:8080/file/031509-290.jpg] и расходится при [img: http://localhost:8080/file/031509-291.jpg], второй сходится при [img: http://localhost:8080/file/031509-292.jpg] и расходится при [img: http://localhost:8080/file/031509-293.jpg]. К Н. и. относятся интегралы в смысле главного значения. Пусть функция f определена на открытом множестве [img: http://localhost:8080/file/031509-294.jpg], кроме, быть может, точки [img: http://localhost:8080/file/031509-295.jpg], и пусть для любого [img: http://localhost:8080/file/031509-296.jpg] функция f интегрируема (по Риману или по Лебегу) на множестве [img: http://localhost:8080/file/031509-297.jpg] есть [img: http://localhost:8080/file/031509-298.jpg] -окрестность точки х. Тогда если существует предел [img: http://localhost:8080/file/031509-299.jpg] то его наз. интегралом в смысле главного значения и обозначают [img: http://localhost:8080/file/031509-300.jpg] Если интеграл [img: http://localhost:8080/file/031509-301.jpg] существует как Н. и., то он существует и в смысле главного значения. Обратное, вообще говоря, неверно. Напр., Н. и. [img: http://localhost:8080/file/031509-302.jpg] расходится, а [img: http://localhost:8080/file/031509-303.jpg] Аналогично определяют интегралы в смысле главного значения в бесконечно удаленной точке.