Неявная функция

- функция [img: http://localhost:8080/file/031510-58.jpg] заданная уравнением [img: http://localhost:8080/file/031510-59.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031510-60.jpg] - нек-рые множества, т. е. такая функция f, что при любом [img: http://localhost:8080/file/031510-61.jpg] имеет место [img: http://localhost:8080/file/031510-62.jpg]. Если [img: http://localhost:8080/file/031510-63.jpg] - топологич. пространства и для нек-рой точки [img: http://localhost:8080/file/031510-64.jpg] выполняется условие [img: http://localhost:8080/file/031510-65.jpg] то при определенных условиях в нек-рой окрестности точки [img: http://localhost:8080/file/031510-66.jpg] уравнение [img: http://localhost:8080/file/031510-67.jpg] однозначно разрешимо относительно одной из переменных. Свойства решения этого уравнения описываются теоремами о Н. ф. Простейшая теорема о Н. ф. состоит в следующем. Пусть Xи Y - подмножества числовой прямой [img: http://localhost:8080/file/031510-68.jpg], [img: http://localhost:8080/file/031510-69.jpg] - внутренняя точка множества [img: http://localhost:8080/file/031510-70.jpg] на плоскости; тогда если функция Fнепрерывна в нек-рой окрестности точки [img: http://localhost:8080/file/031510-71.jpg] и существуют такие [img: http://localhost:8080/file/031510-72.jpg] что при любом фиксированном [img: http://localhost:8080/file/031510-73.jpg] функция [img: http://localhost:8080/file/031510-74.jpg] как функция переменного устрого монотонна на интервале [img: http://localhost:8080/file/031510-75.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031510-76.jpg], то найдется такое [img: http://localhost:8080/file/031510-77.jpg], что существует и притом единственная функция [img: http://localhost:8080/file/031510-78.jpg] такая, что [img: http://localhost:8080/file/031510-79.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/031510-80.jpg] причем функция f(х)непрерывна и [img: http://localhost:8080/file/031510-81.jpg]. Условия этой теоремы выполняются, если функция [img: http://localhost:8080/file/031510-82.jpg] непрерывна в окрестности точки [img: http://localhost:8080/file/031510-83.jpg], существует частная производная Fy, непрерывная в точке [img: http://localhost:8080/file/031510-84.jpg], [img: http://localhost:8080/file/031510-85.jpg] Если, кроме того, существует и частная производная [img: http://localhost:8080/file/031510-86.jpg], также непрерывная в точке [img: http://localhost:8080/file/031510-87.jpg] то Н. ф. f дифференцируема в точке x0, причем [img: http://localhost:8080/file/031510-88.jpg] Эта теорема обобщается на случай системы уравнений, т. е. когда Fявляется векторной функцией. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031510-89.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031510-90.jpg] суть [img: http://localhost:8080/file/031510-91.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031510-92.jpg] мерные евклидовы пространства с фиксированными системами координат, точки к-рых соответственно [img: http://localhost:8080/file/031510-93.jpg] Пусть Fотображает нек-рую окрестность Wточки [img: http://localhost:8080/file/031510-94.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031510-95.jpg] в пространство [img: http://localhost:8080/file/031510-96.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031510-97.jpg], [img: http://localhost:8080/file/031510-98.jpg] - координатные функции (от n+m переменных [img: http://localhost:8080/file/031510-99.jpg] отображения F, т. е. [img: http://localhost:8080/file/031510-100.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031510-101.jpg]. Если отображение Fдифференцируемо на [img: http://localhost:8080/file/031510-102.jpg] а якобиан [img: http://localhost:8080/file/031510-103.jpg] то существуют окрестности Uи Vточек х 0 и у 0 соответственно в пространствах [img: http://localhost:8080/file/031510-104.jpg] и единственное отображение [img: http://localhost:8080/file/031510-105.jpg] такие, что для всех [img: http://localhost:8080/file/031510-106.jpg] выполняется условие [img: http://localhost:8080/file/031510-107.jpg]. При этом [img: http://localhost:8080/file/031510-108.jpg] отображение f дифференцируемо на U, а если [img: http://localhost:8080/file/031510-109.jpg] то явное выражение для частных производных [img: http://localhost:8080/file/031510-110.jpg] находится из системы т. линейных относительно этих производных уравнений [img: http://localhost:8080/file/031510-111.jpg] k=1, 2,..., т, i фиксировано (i=l, 2,..., п). Иногда основное утверждение теоремы формулируется следующим образом: существуют окрестности Uи W0 точек х 0 и [img: http://localhost:8080/file/031510-112.jpg] в пространствах [img: http://localhost:8080/file/031510-113.jpg] и единственное отображение [img: http://localhost:8080/file/031510-114.jpg] такие, что для всех [img: http://localhost:8080/file/031510-115.jpg] выполняются условия [img: http://localhost:8080/file/031510-116.jpg], [img: http://localhost:8080/file/031510-117.jpg]. Иначе говоря, условия [img: http://localhost:8080/file/031510-118.jpg] равносильны условиям [img: http://localhost:8080/file/031510-119.jpg] В этом случае говорят, что уравнение F(x, y)=0 однозначно разрешимо в окрестности W0 точки (х 0, у 0). Сформулированная класcич. теорема о Н. ф. обобщается на случай более общих пространств следующим образом. Пусть X - топологич. пространство, Y и Z- аффинные нормированные пространства над полем действительных или комплексных чисел, т. е. аффинные пространства над указанными полями, к-рым сопоставлены соответственно нормированные векторные пространства [img: http://localhost:8080/file/031510-120.jpg] причем [img: http://localhost:8080/file/031510-121.jpg] - полное пространство, [img: http://localhost:8080/file/031510-122.jpg] - множество линейных непрерывных отображений пространства [img: http://localhost:8080/file/031510-123.jpg] в пространство [img: http://localhost:8080/file/031510-124.jpg] - открытое множество в произведении пространств [img: http://localhost:8080/file/031510-125.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031510-126.jpg] Пусть [img: http://localhost:8080/file/031510-127.jpg] - непрерывное отображение [img: http://localhost:8080/file/031510-128.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/031510-129.jpg] Если при каждом фиксированном хи [img: http://localhost:8080/file/031510-130.jpg] отображение Fимеет частную Фреше произ водную [img: http://localhost:8080/file/031510-131.jpg], причем [img: http://localhost:8080/file/031510-132.jpg] является непрерывным отображением [img: http://localhost:8080/file/031510-133.jpg] а линейное отображение [img: http://localhost:8080/file/031510-134.jpg] имеет непрерывное обратное линейное отооражение (т. е. является обратимым элементом пространства [img: http://localhost:8080/file/031510-135.jpg]), то существуют такие открытые соответственно в пространствах Xи Y множества [img: http://localhost:8080/file/031510-136.jpg] что для любого [img: http://localhost:8080/file/031510-137.jpg] существует и притом единственный элемент [img: http://localhost:8080/file/031510-138.jpg], обозначаемый [img: http://localhost:8080/file/031510-139.jpg] и удовлетворяющий условиям: [img: http://localhost:8080/file/031510-140.jpg] При этом так определенная функция [img: http://localhost:8080/file/031510-141.jpg] является непрерывным отображением Uв Vи [img: http://localhost:8080/file/031510-142.jpg]. Если Xтакже является аффинным нормированным пространством, то при определенных условиях Н. ф. [img: http://localhost:8080/file/031510-143.jpg] удовлетворяющая уравнению [img: http://localhost:8080/file/031510-144.jpg] также дифференцируема. Именно, пусть X, Y, Z- аффинные нормированные пространства, W- открытое множество из [img: http://localhost:8080/file/031510-145.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031510-146.jpg] и пусть f - неявное отображение, задаваемое уравнением (1) и отображающее нек-рую окрестность Uточки х 0 в открытое подмножество Vпространства [img: http://localhost:8080/file/031510-147.jpg] Таким образом, для всех [img: http://localhost:8080/file/031510-148.jpg] имеет место [img: http://localhost:8080/file/031510-149.jpg] Пусть, кроме того, отображение f непрерывно в точке х 0 и [img: http://localhost:8080/file/031510-150.jpg]. Тогда если отображение Fдифференцируемо в точке [img: http://localhost:8080/file/031510-151.jpg] и его частные производные Фреше [img: http://localhost:8080/file/031510-152.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031510-153.jpg] являются линейными непрерывными операторами, отображающими соответственно векторные пространства [img: http://localhost:8080/file/031510-154.jpg], сопоставленные аффинным пространствам Xи Y, в векторное пространство [img: http://localhost:8080/file/031510-155.jpg], сопоставленпое аффинному пространству Z, причем оператор Fy(x0, y0)является обратимым элементом пространства [img: http://localhost:8080/file/031510-156.jpg], то отображение f дифференцируемо в точке х 0 и его производная Фреше задается формулой [img: http://localhost:8080/file/031510-157.jpg] Эта формула получается в результате формального дифференцирования функции (2): [img: http://localhost:8080/file/031510-158.jpg] и умножения слева этого равенства на [img: http://localhost:8080/file/031510-159.jpg]. Если, кроме того, отображение [img: http://localhost:8080/file/031510-160.jpg] непрерывно дифференцируемо на W, Н. ф. [img: http://localhost:8080/file/031510-161.jpg] непрерывна на [img: http://localhost:8080/file/031510-162.jpg] и для любого [img: http://localhost:8080/file/031510-163.jpg] частная производная Фреше Fy(x, f(x))является обратимым элементом пространства. [img: http://localhost:8080/file/031510-164.jpg], то отображение f - непрерывно дифференцируемое отображение Uв V. Можно указать и в общем случае условия существования и единственности Н. ф. в терминах непрерывности производной Фреше: если пространство Zполно, отображение [img: http://localhost:8080/file/031510-165.jpg] непрерывно дифференцируемо на [img: http://localhost:8080/file/031510-166.jpg] и частная производная Фреше Fy(x0, y0) является обратимым элементом пространства [img: http://localhost:8080/file/031510-167.jpg], то уравнение (1) однозначно разрешимо в достаточно малой окрестности точки (х 0, у 0), т. е. существуют окрестности Uи Vточек х 0 и у 0 соответственно в пространствах Xи Y, [img: http://localhost:8080/file/031510-168.jpg] и единственная Н. ф. [img: http://localhost:8080/file/031510-169.jpg] удовлетворяющая условиям (2). При этом отображение f непрерывно дифференцируемо на U. В таком виде теорема о Н. ф. для нормированных пространств представляет собой прямое обобщение соответствующей классич. теоремы о Н. ф. для одного скалярного уравнения с двумя переменными. Если, кроме того, функция [img: http://localhost:8080/file/031510-170.jpg] непрерывно дифференцируема в окрестности Wточки [img: http://localhost:8080/file/031510-171.jpg] раз (k=1, 2,...), то Н. ф. [img: http://localhost:8080/file/031510-172.jpg] также краз непрерывно дифференцируема. Более далекие обобщения классич. теоремы о Н. ф. на случай дифференциальных операторов даны Дж. Нэшем (J. Nash) (см. Наша теорема).