Неявный оператор

- решение y=f(x). нелинейного операторного уравнения F(x, y)=0, в к-ром хиграет роль параметра, а у- неизвестного. Пусть X, Y, Z- банаховы пространства, F(x, у)- нелинейный оператор, непрерывный в окрестности [img: http://localhost:8080/file/031510-212.jpg] точки [img: http://localhost:8080/file/031510-213.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031510-214.jpg] и отображающий [img: http://localhost:8080/file/031510-215.jpg] в окрестность нуля в Z. Если Фреше производная [img: http://localhost:8080/file/031510-216.jpg]. непрерывна в [img: http://localhost:8080/file/031510-217.jpg], существует и ограничен оператор [img: http://localhost:8080/file/031510-218.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031510-219.jpg] то найдутся числа [img: http://localhost:8080/file/031510-220.jpg] такие, что при [img: http://localhost:8080/file/031510-221.jpg] в шаре [img: http://localhost:8080/file/031510-222.jpg] уравнение [img: http://localhost:8080/file/031510-223.jpg] имеет единственное решение [img: http://localhost:8080/file/031510-224.jpg]. При этом Н. о. [img: http://localhost:8080/file/031510-225.jpg] непрерывен по [img: http://localhost:8080/file/031510-226.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031510-227.jpg] Если дополнительно [img: http://localhost:8080/file/031510-228.jpg] праз дифференцируем в [img: http://localhost:8080/file/031510-229.jpg], то и [img: http://localhost:8080/file/031510-230.jpg] п раз дифференцируем. Если [img: http://localhost:8080/file/031510-231.jpg] - аналитический оператор в [img: http://localhost:8080/file/031510-232.jpg], то и f(х)- аналитический. Эти утверждения обобщают известные предложения о неявных функциях. О вырожденных случаях см. Ветвление решений нелинейных уравнений.