Нильпотентная группа

- группа, обладающая нормальным рядом [img: http://localhost:8080/file/031510-349.jpg] таким, что каждый его фактор [img: http://localhost:8080/file/031510-350.jpg] лежит в центре факторгруппы [img: http://localhost:8080/file/031510-351.jpg] (такой ряд наз. центральным). Длина наиболее короткого центрального ряда Н. г. наз. ее классом (или ступенью) нильпотентности. В любой Н. г. нижний (а также верхний) центральный ряд (см. Подгрупп ряд). обрывается на единичной подгруппе и имеет длину, равную классу нильпотентности группы. Конечные Н. г. исчерпываются прямыми произведениями р-групп, т. е. групп порядков [img: http://localhost:8080/file/031510-352.jpg], где р- простое число. В любой Н. г. элементы конечных порядков образуют подгруппу, факторгруппа по к-рой не имеет кручения. Конечно порожденные Н. г. без кручения исчерпываются группами целочисленных треугольных матриц с единицами на главной диагонали п их подгруппами. Любая конечно порожденная Н. г. без кручения аппроксимируется конечными р-группамп для любого простого р. Конечно порожденные Н. г. являются полициклическими, группами, более того, они имеют центральный ряд с циклич. факторами. Все Н. г. класса нильпотентности не больше с образуют многообразие (см. Групп многообразие), определяемое тождеством [img: http://localhost:8080/file/031510-353.jpg] Свободные группы этого многообразия наз. свободными нильпотентными группами. О пополнении Н. г. без кручения см. Локально нилъпотентная группа.