Нормальная сходимость

- сходимость ряда [img: http://localhost:8080/file/031511-87.jpg] "оставленного из ограниченных отображений [img: http://localhost:8080/file/031511-88.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031511-89.jpg] множества [img: http://localhost:8080/file/031511-90.jpg] в нормированное пространство Y, такая, что сходится ряд с положительными членами [img: http://localhost:8080/file/031511-91.jpg] составленный из норм отображений [img: http://localhost:8080/file/031511-92.jpg] Из Н. с. ряда (1) вытекает абсолютная и равномерная сходимость ряда [img: http://localhost:8080/file/031511-93.jpg] состоящего из элементов пространства [img: http://localhost:8080/file/031511-94.jpg]; обратное заключение неверно. Напр., если [img: http://localhost:8080/file/031511-95.jpg] есть действительная функция, определяемая равенствами: [img: http://localhost:8080/file/031511-96.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/031511-97.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031511-98.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/031511-99.jpg] то ряд [img: http://localhost:8080/file/031511-100.jpg] сходится абсолютно п равномерно, а ряд [img: http://localhost:8080/file/031511-101.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031511-102.jpg] расходится. Пусть, в частности, [img: http://localhost:8080/file/031511-103.jpg] - кусочно непрерывные функции на нек-ром некомпактном интервале [img: http://localhost:8080/file/031511-104.jpg] и имеет место Н. с. ряда (1), тогда возможно почленное интегрирование на интервале I: [img: http://localhost:8080/file/031511-105.jpg] Несобственный интеграл [img: http://localhost:8080/file/031511-106.jpg] наз. нормально сходящимся на множестве А, если существует кусочно непрерывная положительная функция [img: http://localhost:8080/file/031511-107.jpg] такая, что для любого [img: http://localhost:8080/file/031511-108.jpg] и любого [img: http://localhost:8080/file/031511-109.jpg] выполняется неравенство [img: http://localhost:8080/file/031511-110.jpg] и интеграл [img: http://localhost:8080/file/031511-111.jpg] сходится. Из Н. с. интеграла (2) следует его абсолютная и равномерная сходимость; обратное заключение неверно.