Нормальное аналитическое пространство

- аналитическое пространство, локальные кольца всех точек к-рого нормальны, т. е. являются цело-вамкнутыми областями целостности. Точка ханалитич. пространства Xназ. нормальной (говорят также, что Xнормально в точке х), если локальное кольцо [img: http://localhost:8080/file/031511-393.jpg] нормально. В окрестности такой точки пространство обладает приведенной и неприводимой локальной моделью. Любая простая (неособая) точка является нормальной. Простейший пример Н. а. п. - аналитическое многообразие. В дальнейшем основное (полное недискретно нормированное) поле kпредполагается алгебраически замкнутым. В этом случае получены наиболее полные результаты о Н. а. п. (см. [1]) и построена теория нормализации [2], к-рая естественным образом связывает с произвольным приведенным аналитическим пространством некоторое Н. а. п. Пусть N(X)- множество точек аналитич. ространства X, не являющихся нормальными, a S(X) - множество особых точек в X. Тогда: 1) N(X)и S(X) - замкнутые аналитич. одмножества в X, причем [img: http://localhost:8080/file/031511-394.jpg] 2) для [img: http://localhost:8080/file/031511-395.jpg] выполняется неравенство [img: http://localhost:8080/file/031511-396.jpg] (т. е. Н. а. п. гладко в коразмерности 1); 3) если Xявляется полным пересечением в точке хи выполнено предыдущее неравенство, то Xнормально в этой точке. Нормализацией приведенного аналитич. ространства Xназ. пара [img: http://localhost:8080/file/031511-397.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031511-398.jpg] - Н. а. п., а [img: http://localhost:8080/file/031511-399.jpg] - конечное сюръективное аналитич. отображение, индуцирующее изоморфизм открытых множеств [img: http://localhost:8080/file/031511-400.jpg] Нормализация определена однозначно с точностью до изоморфизма, т. е. если [img: http://localhost:8080/file/031511-401.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031511-402.jpg] - две нормализации, то существует единственный аналитич. изоморфизм [img: http://localhost:8080/file/031511-403.jpg] такой, что диаграмма коммутативна. [img: http://localhost:8080/file/031511-404.jpg] Нормализация существует и обладает следующими свойствами. Для каждой точки [img: http://localhost:8080/file/031511-405.jpg] множество неприводимых компонент пространства Xв точке хнаходится во взаимно однозначном соответствии с [img: http://localhost:8080/file/031511-406.jpg]. Слой прямого образа [img: http://localhost:8080/file/031511-407.jpg] структурного пучка в точке [img: http://localhost:8080/file/031511-408.jpg] естественно [img: http://localhost:8080/file/031511-409.jpg] изоморфен целому замыканию кольца [img: http://localhost:8080/file/031511-410.jpg] в его полном кольце частных. Понятие Н. а. п. над [img: http://localhost:8080/file/031511-411.jpg] может быть введено в терминах аналитич. родолжения голоморфных функций [3]. Именно, приведенное комплексное пространство нормально тогда и только тогда, когда для него справедлива первая теорема Римана об устранении особенностей: если [img: http://localhost:8080/file/031511-412.jpg] - открытое подмножество, а [img: http://localhost:8080/file/031511-413.jpg] - замкнутое аналитич. одмножество, не содержащее неприводимых компонент множества U, то любая функция, голоморфная на [img: http://localhost:8080/file/031511-414.jpg] и локально ограниченная на U, допускает единственное аналитич. родолжение до голоморфной функции на U. Для нормальных комплексных пространств верна также ивторая теорема Римана об устранении особенностей: если [img: http://localhost:8080/file/031511-415.jpg] в каждой точке [img: http://localhost:8080/file/031511-416.jpg], то упомянутое аналитич. родолжение возможно без требования ограниченности функции. Приведенное комплексное пространство Xнормально тогда и только тогда, когда для любого открытого множества [img: http://localhost:8080/file/031511-417.jpg] отображение ограничения голоморфных функций [img: http://localhost:8080/file/031511-418.jpg] биективно. Свойство нормальности можно сформулировать также на языке локальных когомологий - оно равносильно, равенству [img: http://localhost:8080/file/031511-419.jpg] (см. [5]). Для любого приведенного комплексного пространства Xможно определить пучок колец [img: http://localhost:8080/file/031511-420.jpg] ростков слабоголоморфных функций, т. е. функций, удовлетворяющих условиям первой теоремы Римана. Оказывается, что кольцо [img: http://localhost:8080/file/031511-421.jpg] конечно как [img: http://localhost:8080/file/031511-422.jpg] -модуль и равно целому замыканию кольца [img: http://localhost:8080/file/031511-423.jpg] в его полном кольце частных. Иными словами, [img: http://localhost:8080/file/031511-424.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031511-425.jpg] - отображение нормализации. Нормальное комплексное пространство можно охарактеризовать также следующим образом: комплексное пространство нормально тогда и только тогда, когда каждая его точка обладает окрестностью, допускающей аналитич. аложение на область пространства С n (см. [3], [8]). Приведенное комплексное пространство Xявляется Штейна пространством тогда и только тогда, когда этим свойством обладает его нормализация [img: http://localhost:8080/file/031511-426.jpg] (см. [4]). На нормальные комплексные пространства может быть распространено понятие метрики Ходжа (см. Кэлера метрика). На компактные нормальные пространства с такой метрикой переносится теорема Кодаиры о проективном вложении [6]. В алгебраич. геометрии рассматриваются аналоги Н. а. п.- нормальные алгебраич. многообразия (см. Нормальная схема). Для алгебраич. многообразий над полным недискретным нормированным полем оба понятия совпадают (см. [7], [1]).