Нормальное распределение

- одно из важнейших распределений вероятностей. Термин "Н. р.", принадлежащий К. Пирсону (К. Pearson) (более старые названия Гаусса закон, Гаусса- Лапласа распределение), применяют как по отношению к распределениям вероятностей случайных величин, так и по отношению к совместным распределениям вероятностей нескольких случайных величин (т. е. к распределениям конечномерных случайных векторов), а также случай ных элементов и случайных процессов. Общее определение Н. р. сводится к одномерному случаю. Распределение вероятностей случайной величины Xназ. нормальным, если оно имеет плотность вероятности [img: http://localhost:8080/file/031511-439.jpg] Семейство Н. р. (*) зависит, т. о., от двух параметров [img: http://localhost:8080/file/031511-440.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031511-441.jpg] >0. При этом математич. ожидание Xравно а, дисперсия Xравна [img: http://localhost:8080/file/031511-442.jpg], а характеристич. функция имеет вид [img: http://localhost:8080/file/031511-443.jpg] Кривая Н. р. [img: http://localhost:8080/file/031511-444.jpg] симметрична относительно ординаты, проходящей через точку [img: http://localhost:8080/file/031511-445.jpg] и имеет в этой точке единственный максимум, равный [img: http://localhost:8080/file/031511-446.jpg] С уменьшением [img: http://localhost:8080/file/031511-447.jpg] кривая Н. р. становится все более островершинной. Изменение апри постоянном [img: http://localhost:8080/file/031511-448.jpg] не меняет форму кривой, а вызывает лишь ее смещение по оси абсцисс. Площадь, заключенная под кривой Н. р., всегда равна единице. При [img: http://localhost:8080/file/031511-449.jpg] соответствующая функция распределения равна [img: http://localhost:8080/file/031511-450.jpg] В общем случае функция распределения Н. р. (*) [img: http://localhost:8080/file/031511-451.jpg] может быть вычислена по формуле [img: http://localhost:8080/file/031511-452.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031511-453.jpg] Для функции [img: http://localhost:8080/file/031511-454.jpg] (и нескольких ее производных) составлены обширные таблицы (см., напр., [1], [2] и ст. Интеграл вероятности). Для Н. р. вероятность неравенства [img: http://localhost:8080/file/031511-455.jpg] равная [img: http://localhost:8080/file/031511-456.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031511-457.jpg] убывает весьма быстро с ростом к(см. табл.). [img: http://localhost:8080/file/031511-458.jpg] Во многих практич. вопросах при рассмотрении Н. р. пренебрегают поэтому возможностью отклонений от а, превышающих [img: http://localhost:8080/file/031511-459.jpg],- т. н. правило трех сигма (соответствующая вероятность, как видно из табл., меньше 0,003). Вероятное отклонение для Н. р. равно [img: http://localhost:8080/file/031511-460.jpg] Н. теории вероятностей (см. также Лапласа теорема, Ляпунова теорема). Качественно соответствующий результат может быть объяснен следующим образом: Н. р. служит хорошим приближением каждый раз, когда рассматриваемая случайная величина представляет собой сумму большого числа независимых случайных величин, максимальная из к-рых мала по сравнению со всей суммой (см. Центральная предельная теорема). Н. р. может появляться также как точное решение нек-рых задач (в рамках принятой математич. модели явления). Так обстоит дело в теории случайных процессов (в одной из основных моделей броуновского движения). Классич. примеры возникновения Н. р. как точного принадлежат К. Гауссу (С. Gauss, закон распределения ошибок наблюдения) и Дж. Максвеллу (J. М axwell, закон распределения скор остей молекул) (см. также Независимость, Характеризационная теорема). Распределение случайного вектора [img: http://localhost:8080/file/031511-461.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031511-462.jpg] или совместное распределение случайных величин [img: http://localhost:8080/file/031511-463.jpg] наз. Н. р. (многомерным нормальным), если при любом фиксированном [img: http://localhost:8080/file/031511-464.jpg] скалярное произведение [img: http://localhost:8080/file/031511-465.jpg] имеет или Н. р., или равно константе (как иногда говорят, имеет Н. р. с дисперсией, равной нулю). Для случайных элементов со значениями из какого-либо векторного пространства Еэто определение сохраняется с заменой tна любой элемент lсопряженного пространства [img: http://localhost:8080/file/031512-1.jpg] и скалярного произведения (t, X)на линейный функционал l(Х). Совместное распределение нескольких случайных величин [img: http://localhost:8080/file/031512-2.jpg] имеет характеристическую функцию [img: http://localhost:8080/file/031512-3.jpg] - неотрицательно определенная квадратичная форма и [img: http://localhost:8080/file/031512-4.jpg] - ковариационная матрица вектора X. В случае положительной определенности соответствующее Н. р. имеет плотность вероятности [img: http://localhost:8080/file/031512-5.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031512-6.jpg] - квадратичная форма, обратная [img: http://localhost:8080/file/031512-7.jpg], параметры [img: http://localhost:8080/file/031512-8.jpg] равны математич. ожиданиям [img: http://localhost:8080/file/031512-9.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031512-10.jpg] соответственно, а постоянная [img: http://localhost:8080/file/031512-11.jpg] Общее количество параметров, задающих Н. р., равно [img: http://localhost:8080/file/031512-12.jpg] и быстро растет с ростом п. (оно равно 2 при n=1, 20 при п=5и 65 при n=10). Многомерное Н. р. служит основной моделью многомерного статистического анализа. Оно используется также в теории случайных процессов (где рассматриваются Н. р. в бесконечномерных пространствах, см. Случайный элемент, а также Винера мера, Винеровский процесс, Гауссовский процесс). Из важных свойств Н. р. необходимо отметить следующие. Сумма Xнезависимых случайных величин Х 1 и Х 2, имеющих Н. р., имеет Н. р.; обратно, если Х=Х 1+Х 2 имеет Н. р. и Х 1 и X2 независимы, то X1 и Х 2 имеют Н. р. (теорема Крамера). Это свойство обладает определенной "устойчивостью": если распределение X"близко" к Н. р., то и распределения X1 и Х 2"близки" к Н. р. С Н. р. связаны нек-рые другие важные распределения (см. Логарифмически нормальное распределение, Нецентральное "хи-квадрат" распределение, Стьюденша распределение, Уишарта распределение, Фишера z-распределение, Хотеллинга Т 2 -распре-селение, чХи-квадрат" распределение). Для приближенного представления распределений, близких к Н. р., широко применяются ряды типа Эджворта рядов и Грама- Шарлъе рядов. О вопросах, связанных с оценкой параметров Н. р. по результатам наблюдений, см. ст. Несмещенная оценка. О проверке гипотезы нормальности см. Непараметрические методы статистики. См. также Вероятностная бумага.