Нормальное семейство

аналитических функций в области - такое семейство Sоднозначных аналитич. ций f(z)комплексных переменных [img: http://localhost:8080/file/031512-39.jpg] в области Dпространства [img: http://localhost:8080/file/031512-40.jpg], [img: http://localhost:8080/file/031512-41.jpg] что из любой последовательности функций из Sможно выделить подпоследовательность [img: http://localhost:8080/file/031512-42.jpg] равномерно сходящуюся внутри Dк аналитич. ции или к бесконечности. При этом, но определению, подпоследовательность [img: http://localhost:8080/file/031512-43.jpg] равномерно внутри Dсходится к бесконечности, если для любых компакта [img: http://localhost:8080/file/031512-44.jpg] и числа М>0 можно указать такой номер [img: http://localhost:8080/file/031512-45.jpg] что [img: http://localhost:8080/file/031512-46.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/031512-47.jpg] Семейство Sназ. нормальным семейством в точке [img: http://localhost:8080/file/031512-48.jpg] если Sнормально в нек-ром шаре с центром [img: http://localhost:8080/file/031512-49.jpg]. Семейство Sнормально в области Dтогда тт только тогда, когда оно нормально в каждой точке [img: http://localhost:8080/file/031512-50.jpg]. Всякое компактное семейство голоморфных функций является Н. [img: http://localhost:8080/file/031512-66.jpg] когда [img: http://localhost:8080/file/031512-67.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/031512-68.jpg] когда [img: http://localhost:8080/file/031512-69.jpg]. Если семейство Sмероморфных функций в области [img: http://localhost:8080/file/031512-70.jpg] таково, что ни одна из функций [img: http://localhost:8080/file/031512-71.jpg] не принимает трех определенных значений, то Sесть Н. с. (теорема Монтеля). Семейство Sмероморфных функций есть Н. с. в области [img: http://localhost:8080/file/031512-72.jpg] тогда и только тогда, когда [img: http://localhost:8080/file/031512-73.jpg] на каждом компакте [img: http://localhost:8080/file/031512-74.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031512-75.jpg] - т. н. сферическая производная функции f(z). Начиная с 30-х гг. 20 в. Н. с. приобрели большое значение в исследованиях граничных свойств аналитических функций (см. также Предельное множество,[3], [4]). Мероморфная функция f(z)в односвязной области [img: http://localhost:8080/file/031512-76.jpg] наз. нормальной функцией в области D, если семейство [img: http://localhost:8080/file/031512-77.jpg] есть Н. с. в D; здесь g(z) пробегает семейство всех конформных автоморфизмов области D. Функция f(z) наз. нормальной в многосвязной области D, если она нормальна на универсальной накрывающей поверхности D. Если мероморфная в Dфункция f(z)опускает три значения, то f(z) - нормальная функция. Для того чтобы [img: http://localhost:8080/file/031512-78.jpg] была нормальной в единичном круге [img: http://localhost:8080/file/031512-79.jpg] необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие [img: http://localhost:8080/file/031512-80.jpg] Для нормальной мероморфной функции [img: http://localhost:8080/file/031512-81.jpg] в единичном круге [img: http://localhost:8080/file/031512-82.jpg] из существования асимптотического значения [img: http://localhost:8080/file/031512-83.jpg] в граничной точке [img: http://localhost:8080/file/031512-84.jpg] следует, что [img: http://localhost:8080/file/031512-85.jpg] - угловое граничное значение [img: http://localhost:8080/file/031512-86.jpg]. в [img: http://localhost:8080/file/031512-87.jpg] Однако мероморфная нормальная функция в круге [img: http://localhost:8080/file/031512-88.jpg] может и не иметь вовсе асимптотич. значений. Напротив, если [img: http://localhost:8080/file/031512-89.jpg] - голоморфная нормальная функция в [img: http://localhost:8080/file/031512-90.jpg], то даже угловые граничные значения существуют на множестве точек единичной окружности Г, плотном на Г.