Норменныи вычет

символ нор мен-ног о вычета, символ Гильберта,- функция, сопоставляющая упорядоченной паре элементов х, у мультипликативной группы [img: http://localhost:8080/file/031512-328.jpg] нек-рого локального поля К элемент [img: http://localhost:8080/file/031512-329.jpg] являющийся корнем из единицы. Эта функция может быть определена следующим образом. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031512-330.jpg] - нек-рый первообразный корень степени пиз единицы. Максимальное абе-лево расширение Lполя Kс группой Галуа [img: http://localhost:8080/file/031512-331.jpg] показателя пполучается присоединением к Ккорней [img: http://localhost:8080/file/031512-332.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/031512-333.jpg]. С другой стороны, существует кано-нич. изоморфизм (основной изоморфизм локальной полей классов теории) [img: http://localhost:8080/file/031512-334.jpg] Норменный вычет для пары х, у определяется из соотношения [img: http://localhost:8080/file/031512-335.jpg] В частном случае, для квадратичных полей, понятие символа Н. в. было введено Д. Гильбертом (D. Hilbert). Существует явное и использующее только локчльную теорию полей классов определение Н. в. [4]. Свойствасимвола [img: http://localhost:8080/file/031512-336.jpg]: 1)билинейность: [img: http://localhost:8080/file/031512-338.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031512-337.jpg] 2) кососимметричность: [img: http://localhost:8080/file/031512-339.jpg] 3) невырожденность: из [img: http://localhost:8080/file/031512-340.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/031512-341.jpg] следует, что [img: http://localhost:8080/file/031512-342.jpg] из [img: http://localhost:8080/file/031512-343.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/031512-344.jpg] следует, что [img: http://localhost:8080/file/031512-345.jpg]; 4) если [img: http://localhost:8080/file/031512-346.jpg] 5) если [img: http://localhost:8080/file/031512-347.jpg] - автоморфизм поля К, то [img: http://localhost:8080/file/031512-348.jpg] 6)пусть- [img: http://localhost:8080/file/031512-349.jpg] конечное расширение поля [img: http://localhost:8080/file/031512-350.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031512-351.jpg]. Тогда [img: http://localhost:8080/file/031512-352.jpg] где в левой части формулы символ Н. в. рассматривается для поля [img: http://localhost:8080/file/031512-353.jpg], в правой части - для ноля [img: http://localhost:8080/file/031512-354.jpg], а [img: http://localhost:8080/file/031512-355.jpg] - норменное отображение из K' в K. 7) из [img: http://localhost:8080/file/031512-356.jpg] следует, что уявляется нормой из расширения [img: http://localhost:8080/file/031512-357.jpg] (это свойство дало название символу). Функция (x, у)индуцирует невырожденное билинейное спаривание [img: http://localhost:8080/file/031512-358.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031512-359.jpg] - группа корней из единицы, порожденная [img: http://localhost:8080/file/031512-360.jpg]. Пусть задано отображение [img: http://localhost:8080/file/031512-361.jpg] в некоторую абелеву группу А, удовлетворяющее условиям 1), 4) и условию непрерывности: для любого [img: http://localhost:8080/file/031512-362.jpg] множество [img: http://localhost:8080/file/031512-363.jpg] замкнуто в [img: http://localhost:8080/file/031512-364.jpg]. Символ Н. в. обладает следующим свойством универсальности [3]: существует гомоморфизм [img: http://localhost:8080/file/031512-365.jpg] такой, что для любых [img: http://localhost:8080/file/031512-367.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031512-366.jpg] Это свойство служит основой аксиоматич. определения Н. в. Если F- глобальное поле,a К- пополнение поля Fотносительно нек-рой точки v, то символом Н. в. называют также функцию [img: http://localhost:8080/file/031512-368.jpg] определенную на [img: http://localhost:8080/file/031512-369.jpg], получающуюся композицией (локального) символа Н. в. [img: http://localhost:8080/file/031512-370.jpg] с естественным вложением. [img: http://localhost:8080/file/031512-371.jpg] Иногда символом Н. в. наз. автоморфизм q(x) максимального абелева расширения поля К, соответствующий элементу [img: http://localhost:8080/file/031512-372.jpg] в силу локальной теории полей классов.