Нормирование

логарифмическое нормирование, оценка поля,- отображение [img: http://localhost:8080/file/031512-373.jpg] поля Кв [img: http://localhost:8080/file/031512-374.jpg] где Г - линейно упорядоченная абелева группа, а присоединяемый элемент [img: http://localhost:8080/file/031512-375.jpg] считается больше любого элемента из группы [img: http://localhost:8080/file/031512-376.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031512-377.jpg] для любого [img: http://localhost:8080/file/031512-378.jpg]. При этом Н. должно удовлетворять следующим условиям: [img: http://localhost:8080/file/031512-379.jpg] Образ [img: http://localhost:8080/file/031512-380.jpg] при отображении vявляется подгруппой группы Г и называется группой значений нормирования v. Всюду в дальнейшем будет предполагаться, что [img: http://localhost:8080/file/031512-381.jpg] совпадает с Г. Теми же аксиомами определяется логарифм и-ческое нормирование колец. Всякое кольцо с неархимедовым абсолютным значением может быть превращено в логарифмически нормированное кольцо, если в группоиде значений перейти от мультипликативной записи к аддитивной и заменить упорядоченность на инверсную. Элемент 0 при этом естественно обозначить символом [img: http://localhost:8080/file/031512-382.jpg]. Обратный переход от кольца с логарифмическим Н. к кольцу с неархимедовым абсолютным значением также возможен. Если в кольце было задано неархимедово вещественное нормирование, то соответствующий переход можно получить, заменяя любое положительное действительное число [img: http://localhost:8080/file/031512-383.jpg] числом [img: http://localhost:8080/file/031512-384.jpg]. Получающееся при этом логарифмическое Н. также принято называть вещественным. Нормирования [img: http://localhost:8080/file/031512-385.jpg] наз. эквивалентными, если существует такой изоморфизм [img: http://localhost:8080/file/031512-386.jpg] упорядоченных групп, что для всех ненулевых элементов [img: http://localhost:8080/file/031512-387.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031512-388.jpg] Множество таких элементов хполя К, что [img: http://localhost:8080/file/031512-389.jpg], является подкольцом Аполя Ки наз. кольцом нормирования ев поле К. Кольцо Н. всегда является локальным кольцом. Элементы поля К, для которых [img: http://localhost:8080/file/031512-390.jpg] образуют максимальный идеал [img: http://localhost:8080/file/031512-391.jpg] кольца А; он наз. идеалом нормирования v. Факторкольцо [img: http://localhost:8080/file/031512-392.jpg], являющееся полем, наз. полем вычетов нормирования [img: http://localhost:8080/file/031512-393.jpg]. Пусть в поле Кзаданы Н. [img: http://localhost:8080/file/031512-394.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031512-395.jpg]. Кольца этих Н., рассматриваемые как подкольца поля К, тогда и только тогда совпадают, когда эти Н. эквивалентны. Таким образом, обозрение всех (с точностью до эквивалентности) Н. поля Ксводится к обозрению всех таких подколец, которые могут служить для этого поля кольцами Н. Описание таких подколец дает следующая теорема: подкольцо Аполя Ктогда и только тогда может служить для этого поля кольцом Н., когда для всякого ненулевого элемента [img: http://localhost:8080/file/031512-396.jpg], хотя бы один из элементов [img: http://localhost:8080/file/031512-397.jpg] принадлежит к А. Кольцо Н., таким образом, может быть абстрактно определено как целостное кольцо (область целостности), удовлетворяющее условию сформулированной выше теоремы по отношению к своему полю частных. Всякое такое кольцо служит кольцом т. н. канонического нормирования для своего поля частных, группой значений канонического Н. является группа [img: http://localhost:8080/file/031512-398.jpg], где U-мультипликативная группа обратимых элементов кольца А, упорядоченная отношением делимости. Кольца Н. можно определить еще одним способом. Если [img: http://localhost:8080/file/031512-399.jpg] - два локальных кольца с максимальными идеалами ти п соответственно, то говорят, что Вдоминирует А, если [img: http://localhost:8080/file/031512-400.jpg]. Отношение доминирования является отношением частичного порядка на множестве подколец поля К. Максимальные элементы этого множества и только они являются кольцами Н. поля К. Если А- кольцо Н., а [img: http://localhost:8080/file/031512-401.jpg] - кольцо с тем же полем частных, что и А, то В также кольцо Н. и Вявляется локализацией кольца Апо нек-рому простому идеалу. Примеры нормирований. 1) Нормирование поля, определяемое формулой: [img: http://localhost:8080/file/031512-402.jpg] наз. несобственным, или тривиальным, Н. Таково любое Н. конечного поля. Ему соответствует точка [img: http://localhost:8080/file/031512-403.jpg] (тождественное отображение К). 2) Пусть k - нек-рое поле и [img: http://localhost:8080/file/031512-404.jpg] - поле формальных степенных рядов над k. Сопоставление ряду [img: http://localhost:8080/file/031512-405.jpg] его порядка п(а нулевому ряду [img: http://localhost:8080/file/031512-406.jpg]) продолжается до Н. с группой значений [img: http://localhost:8080/file/031512-407.jpg] (аддитивная группа целых чисел) и кольцом Н. [img: http://localhost:8080/file/031512-408.jpg]. Ассоциированная точка сопоставляет ряду [img: http://localhost:8080/file/031512-409.jpg] свободный член [img: http://localhost:8080/file/031512-410.jpg]. Н. со значениями в группе [img: http://localhost:8080/file/031512-411.jpg] наз. дискретным; о их кольцах Н. см. Дискретного нормирования кольцо. Описание всех Н. поля рациональных чисел см. в [4]. Для любой линейно упорядоченной абелевой группы Г существует Н. некоторого поля, группа значений к-рого изоморфна Г. Идеалы колец нормирования. Множество идеалов кольца Н. линейно упорядочено относительно включения, любой идеал конечного типа- главный, т. е. кольцо Н. является Везу кольцом. Более полно описание строения идеалов кольца Н. можно дать в терминах группы значений Н. Подмножество Млинейно упорядоченного множества наз. мажорным (или м. Пусть р- простой идеал, соответствующий выпуклой подгруппе H, тогда композиция отображений [img: http://localhost:8080/file/031512-422.jpg] будет Н. поля Кс кольцом Н. [img: http://localhost:8080/file/031512-423.jpg] и идеалом Н. рА р;кроме того, на поле [img: http://localhost:8080/file/031512-424.jpg] индуцируется Н. со значениями в группе Ни кольцом Н. [img: http://localhost:8080/file/031512-425.jpg]. Тем самым Н. расщепляется на более простые. Пусть А- кольцо Н., тогда простой спектр Абез нуля (Spec А-(0)) является линейно упорядоченным множеством и его тип наз. высотой, или рангом, соответствующего Н. Если Spec Аконечен, то высота Н. есть число элементов в Spec А-(0), и это число совпадает с числом выпуклых подгрупп группы Г, отличных от самой Г. Н. конечного ранга сводятся к Н. ранга 1. Последние характеризуются тем, что их группа значений - архимедова группа, т. е. изоморфна нек-рой подгруппе аддитивной группы [img: http://localhost:8080/file/031512-426.jpg] действительных чисел. В этом случае отображение [img: http://localhost:8080/file/031512-427.jpg] является ультраметрическим абсолютным значением поля К, Важное свойство колец Н.- целозамкнутость. Более того, для произвольного целостного кольца Аего целое замыкание равно пересечению всех колец Н., содержащих А. Кольцо Н. вполне целозамкнуто тогда и только тогда, когда его Н. вещественное, т. е. имеет ранг 1. Кольцо Н. нётерово тогда и только тогда, когда Н. дискретно. Связь нормирования и топологии. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031512-428.jpg] Н. поля Kи [img: http://localhost:8080/file/031512-429.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031512-430.jpg] Совокупность всех [img: http://localhost:8080/file/031512-431.jpg], образует фундаментальную систему окрестностей нуля топологии [img: http://localhost:8080/file/031512-432.jpg] поля К, называемой топологией, определяемо й нормированием V. Топология [img: http://localhost:8080/file/031512-433.jpg] отделима и несвязна. Топология, индуцируемая [img: http://localhost:8080/file/031512-434.jpg] на кольце А, как правило, отлична от топологии локального кольца. Для нетривиального Н. поля Ктопология [img: http://localhost:8080/file/031512-435.jpg] локально компактна тогда и только тогда, когда Н. vдискретно, кольцо Н. полное, а поле вычетов Н. vконечно; кольцо Апри этом будет компактно. Пополнение [img: http://localhost:8080/file/031512-436.jpg] поля Котносительно топологии [img: http://localhost:8080/file/031512-437.jpg] является полем; Н. vпродолжается по непрерывности до Н. [img: http://localhost:8080/file/031512-438.jpg] и топология [img: http://localhost:8080/file/031512-439.jpg] совпадает с [img: http://localhost:8080/file/031512-440.jpg]. Кольцо [img: http://localhost:8080/file/031512-441.jpg] нормирования vявляется пополнением кольца Анормирования v. Нормирования [img: http://localhost:8080/file/031512-442.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031512-443.jpg] поля Кназ. независимым и, если топологии [img: http://localhost:8080/file/031512-444.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031512-445.jpg] различны; это эквивалентно тому, что кольца нормирований [img: http://localhost:8080/file/031512-446.jpg] и. [img: http://localhost:8080/file/031512-447.jpg] порождают поле К. Неэквивалентные нормирования высоты 1 всегда независимы. Имеет место теорема аппроксимации для нормирований: пусть [img: http://localhost:8080/file/031512-448.jpg] - независимые нормирования, [img: http://localhost:8080/file/031512-449.jpg] тогда найдется такой элемент хполя К, что [img: http://localhost:8080/file/031512-450.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/031512-451.jpg]. Продолжения нормирований. Если [img: http://localhost:8080/file/031512-452.jpg] - Н. поля L, а К- подполе L, то ограничение [img: http://localhost:8080/file/031512-453.jpg] нормирования [img: http://localhost:8080/file/031512-454.jpg] на поле Кявляется Н. поля К, а его группа значений Г - подгруппой группы [img: http://localhost:8080/file/031512-455.jpg] наз. при этом продолжением Н. v. Обратно, если v- Н., a L расширение поля К, то всегда существует Н. поля L, продолжающее v. Индекс [img: http://localhost:8080/file/031512-456.jpg] подгруппы Г в группе [img: http://localhost:8080/file/031512-457.jpg] наз. индексом ветвления Н. [img: http://localhost:8080/file/031512-458.jpg] относительно vи обозначается [img: http://localhost:8080/file/031512-459.jpg] Поле вычетов [img: http://localhost:8080/file/031512-460.jpg] нормирования vотождествляется с подполем поля вычетов [img: http://localhost:8080/file/031512-461.jpg] степень расширения [img: http://localhost:8080/file/031512-462.jpg] обозначается [img: http://localhost:8080/file/031512-463.jpg] и наз. степенью вычетов Н. [img: http://localhost:8080/file/031512-464.jpg] относительно v. Продолжение [img: http://localhost:8080/file/031512-465.jpg] нормирования vназ. непосредственным, если [img: http://localhost:8080/file/031512-466.jpg] Пусть L - расширение поля [img: http://localhost:8080/file/031512-467.jpg] - множество всех продолжений Н. v на L. Если L - конечное расширение поля Кстепени п, то множество всех продолжений vконечно, и [img: http://localhost:8080/file/031512-468.jpg] В ряде случаев это неравенство можно заменить на равенство, напр, когда [img: http://localhost:8080/file/031512-469.jpg] дискретно и либо Кполно, либо Lсепарабельно над К. Если L- нормальное расширение К, то продолжения [img: http://localhost:8080/file/031512-470.jpg] на Lпереводятся друг в друга K-автоморфизмами L, в частности если L- радикальное расширение К, то [img: http://localhost:8080/file/031512-471.jpg] имеет единственное продолжение. В случае произвольного бесконечного расширения [img: http://localhost:8080/file/031512-472.jpg] или продолжения [img: http://localhost:8080/file/031512-473.jpg] нормирования vстепень трансцендентности Lнад Кбольше или равна сумме [img: http://localhost:8080/file/031512-474.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031512-475.jpg] - степень трансцендентности расширения поля вычетов [img: http://localhost:8080/file/031512-476.jpg] над полем вычетов [img: http://localhost:8080/file/031512-477.jpg] - размерность пространства [img: http://localhost:8080/file/031512-478.jpg] Понятие "Н." ввел и изучил В. Крулль [1]. Это понятие широко используется также в алгебраич. геометрии. Так, в терминах "колец Н." строится абстрактная риманова поверхность поля (см. [3]).