Ньютона диаграмма

, " многоугольник Ньютон а,- выпуклая ломаная, введенная И. Ньютоном (I. Newton) в 1669 (см. [1]) для определения показателей главных членов алгебраич. функций. Процесс последовательного нахождения членов разложения алгебраич. функции с помощью Н. д. носит название метода диаграммы Ньютона. Более подробно метод Н. д. был разработан В. Пюизё [2], ив математич. литературе Н. д. иногда наз. диаграммой Пюизё. Алгебраич. вариант Н. д. задолго до В. Пюизё был исследован Ж. Лагранжем [3]. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031513-102.jpg] - псевдомногочлен относительно у, т. е. [img: http://localhost:8080/file/031513-103.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031513-104.jpg] х, у- комплексные переменные, [img: http://localhost:8080/file/031513-105.jpg] - комплексные числа, р- натуральное число, [img: http://localhost:8080/file/031513-106.jpg] - неотрицательные рациональные числа, [img: http://localhost:8080/file/031513-107.jpg] Обычно считается, что если [img: http://localhost:8080/file/031513-108.jpg] а значит [img: http://localhost:8080/file/031513-109.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031513-110.jpg] Решения [img: http://localhost:8080/file/031513-111.jpg] уравнения [img: http://localhost:8080/file/031513-112.jpg] ищутся в виде ряда [img: http://localhost:8080/file/031513-113.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031513-114.jpg] или, короче, [img: http://localhost:8080/file/031513-115.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031513-116.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031513-117.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/031513-118.jpg] Для определения возможных значений e и у e. подставляется (2) в (1), собираются члены с одинаковыми степенями хи приравниваются нулю коэффициенты при этих степенях. Процесс начинается с члена наинизшей степени. Пока показатель e не определен, нельзя сказать, какие из полученных членов будут наинизшими по х. Однако члены наинизшего порядка содержатся среди следующих: [img: http://localhost:8080/file/031513-119.jpg] где кпробегает те из значений [img: http://localhost:8080/file/031513-120.jpg] для к-рых [img: http://localhost:8080/file/031513-121.jpg] Для уничтожения членов наинизшего порядка необходимо подобрать [img: http://localhost:8080/file/031513-122.jpg] так, чтобы по меньшей мере два из показателей [img: http://localhost:8080/file/031513-123.jpg] совпали, а остальные были не меньше их. Это соображение и приводит к Н. д. На плоскости выбирается прямоугольная декартова система координат и строятся точки [img: http://localhost:8080/file/031513-124.jpg], [img: http://localhost:8080/file/031513-125.jpg], где kпробегает те же значения, что и в (3). Через точку [img: http://localhost:8080/file/031513-126.jpg] проводится прямая, совпадающая с осью ординат, к-рая затем вращается вокруг точки [img: http://localhost:8080/file/031513-127.jpg] против часовой стрелки до тех пор, пока она не попадет на какую-либо из нанесенных точек, напр. [img: http://localhost:8080/file/031513-128.jpg]. Тангенс угла, составленного прямой L, проходящей через точки [img: http://localhost:8080/file/031513-129.jpg] с отрицательным направлением оси абсцисс, равен одному из значений [img: http://localhost:8080/file/031513-130.jpg], так как [img: http://localhost:8080/file/031513-131.jpg] если [img: http://localhost:8080/file/031513-132.jpg] Пусть [img: http://localhost:8080/file/031513-133.jpg] - точка на Lс наибольшей абсциссой и пусть теперь Lвращается против часовой стрелки вокруг точки [img: http://localhost:8080/file/031513-134.jpg], пока она не попадет на другую из нанесенных точек, скажем [img: http://localhost:8080/file/031513-135.jpg] с t> s. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031513-136.jpg] - прямая, проходящая через [img: http://localhost:8080/file/031513-137.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031513-138.jpg]. Тангенс угла, образованного [img: http://localhost:8080/file/031513-139.jpg] с отрицательным направлением оси абсцисс, даст еще одно из возможных значений [img: http://localhost:8080/file/031513-141.jpg]. [img: http://localhost:8080/file/031513-140.jpg] Продолжением этих построений получается выпуклая ломаная, к-рая и наз. диаграммой Ньютона. Определение значений коэффициента [img: http://localhost:8080/file/031513-142.jpg] таково. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031513-143.jpg] - крайние точки отрезка Н. д., определяющего одно из возможных значений [img: http://localhost:8080/file/031513-144.jpg]. Для того чтобы при подстановке (2) в (1) уничтожились члены наинизшего порядка, необходимо и достаточно, чтобы [img: http://localhost:8080/file/031513-145.jpg] где штрих суммы означает, что суммирование проводится по [img: http://localhost:8080/file/031513-146.jpg], удовлетворяющим соотношению [img: http://localhost:8080/file/031513-147.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031513-148.jpg] Х Уравнение (4) имеет [img: http://localhost:8080/file/031513-149.jpg] отличных от нуля корней (с учетом их кратности), т. е. столько корней, какова длина проекции взятого отрезка Н. д. Отсюда видно, что методом Н. д. получаются все пзначений главного члена [img: http://localhost:8080/file/031513-150.jpg] в формуле (2). Этим же методом определяется следующий член в разложении (2), и т. д. В результате все прешений уравнения (1) имеют вид (2) т. н. рядов Пюизё (см. Алгебраическая функция). Метод Н. д. применяется также и при решении дифференциальных уравнений.