Ньютона метод

метод касательны х,- метод приближенного нахождения корней действительного уравнения [img: http://localhost:8080/file/031513-170.jpg] где f - дифференцируемая функция. Последовательные приближения Н. м. вычисляются по формулам [img: http://localhost:8080/file/031513-171.jpg] Если функция [img: http://localhost:8080/file/031513-172.jpg] дважды непрерывно дифференцируема, [img: http://localhost:8080/file/031513-173.jpg] - простой корень уравнения (1) и начальное приближение [img: http://localhost:8080/file/031513-174.jpg] лежит достаточно близко к [img: http://localhost:8080/file/031513-175.jpg], то Н. м. обладает квадратичной сходимостью, т. е. [img: http://localhost:8080/file/031513-176.jpg] где с - константа, зависящая только от функции f и начального приближения [img: http://localhost:8080/file/031513-177.jpg] Часто вместо (2) для решения задачи (1) применяется т. н. модифицированный метод Ньютона: [img: http://localhost:8080/file/031513-178.jpg] При тех же предположениях, при к-рых Н. м. имеет квадратичную сходимость, метод (3) имеет линейную сходимость, т. е. сходится со скоростью геометрия, прогрессии со знаменателем меньше единицы. Применительно к решению нелинейного операторного уравнения [img: http://localhost:8080/file/031513-179.jpg] с оператором [img: http://localhost:8080/file/031513-180.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031513-181.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031513-182.jpg] - нек-рые банаховы пространства, обобщение (2) наз. методом Ньютона-Канторовича. Формулы этого метода имеют вид [img: http://localhost:8080/file/031513-183.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031513-184.jpg] - производная Фреше оператора Ав точке [img: http://localhost:8080/file/031513-185.jpg], являющаяся обратимым оператором, действующим из [img: http://localhost:8080/file/031513-186.jpg] в. При специальных предположениях метод Ньютона [img: http://localhost:8080/file/031513-187.jpg] - Канторовича обладает квадратичной сходимостью, а соответствующий модифицированный метод - линейной сходимостью. Н. м. разработан И. Ньютоном (I. Newton, 1669).