Нётерово кольцо

левое (правое)- кольцо А, удовлетворяющее одному из следующих эквивалентных условий: 1) А- левый (правый) нётеров модуль над собой; 2) любой левый (правый) идеал в Аимеет конечный базис; 3) любая строго возрастающая цепочка левых (правых) идеалов в Аобрывается на конечном номере. Примером Н. к. может служить любое кольцо главных идеалов, в к-рых любой идеал имеет одну образующую. Н. к. названы по имени Э. Нётер (Е. Noether), систематически исследовавшей такие кольца и перенесшей на них ряд результатов, известных ранее только при более жестких ограничениях (напр., теорию примарного разложения Л аскера). Кольцо нётерово справа не обязано быть нётеровым слева и наоборот. Напр., пусть А- кольцо матриц вида [img: http://localhost:8080/file/031510-9.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/031510-10.jpg] - целое рациональное число и [img: http://localhost:8080/file/031510-11.jpg] - рациональные числа с обычным сложением и умножением. Тогда Анётерово справа, но не нётерово слева, т. к. левый идеал элементов вида [img: http://localhost:8080/file/031510-12.jpg] не имеет конечного базиса. Факторкольцо и конечная прямая сумма Н. к. снова нётеровы, но подкольцо Н. к. может не быть нётеровым. Напр., кольцо многочленов над пек-рым полем от бесконечного числа переменных не является нётеровым, хотя оно содержится в своем поле частных, к-рое нётерово. Если А- нётерово слева кольцо, то кольцо многочленов А[х]также нётерово слева. Аналогичное свойство справедливо и для кольца формальных степенных рядов над Н. к. В частности, кольца многочленов вида [img: http://localhost:8080/file/031510-13.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/031510-14.jpg] где К- нек-рое поле, а [img: http://localhost:8080/file/031510-15.jpg] - кольцо целых чисел, а также любые их факторкольца являются нётеровыми. Любое артиново кольцо нётерово. Локализация коммутативного Н. к. Аотносительно нек-рой мультипликативной системы Sснова является Н. к. В коммутативном Н. к. Адля любого идеала не такого, что все элементы вида l+m, где [img: http://localhost:8080/file/031510-16.jpg], не являются делителями нуля, выполняется соотношение [img: http://localhost:8080/file/031510-17.jpg]. Это соотношение означает, что любой такой идеал m определяет на Аотделимую nt-адическую топологию. В коммутативном Н. к. любой идеал представим в виде несократимого пересечения конечного числа примарных идеалов. Хотя такое представление не однозначно, но однозначно определены число идеалов в представлении и множество простых идеалов, ассоциированных с данными примерными идеалами.