Обобщенная аналитическая функция

- функция [img: http://localhost:8080/file/031601-99.jpg] удовлетворяющая системе [img: http://localhost:8080/file/031601-100.jpg] с действительными коэффициентами [img: http://localhost:8080/file/031601-101.jpg] являющимися функциями действительных переменных хи у В обозначениях [img: http://localhost:8080/file/031601-102.jpg] исходная система записывается в виде [img: http://localhost:8080/file/031601-103.jpg] Если коэффициенты Аи Всистемы (1) на всей плоскости Екомплексного переменного z принадлежат классу [img: http://localhost:8080/file/031601-104.jpg] то в любой области Dэтой плоскости каждая О. а. ф. w(z), удовлетворяющая уравнению (1) представляется в виде [img: http://localhost:8080/file/031601-105.jpg] (2) где [img: http://localhost:8080/file/031601-106.jpg] а [img: http://localhost:8080/file/031601-107.jpg] - вполне определенная аналитическая в области Dфункция переменного z. Связь между О. а. ф. и аналитич. циями, осуществляемая формулой (2), является нелинейной, еслк [img: http://localhost:8080/file/031601-108.jpg]. По заданной аналитич. ции из нелинейноге интегрального уравнения (2) единственным образом определяется О. а. ф. [img: http://localhost:8080/file/031601-109.jpg] Существует линейный оператор [img: http://localhost:8080/file/031601-110.jpg] устанавливающий взаимно однозначное соответствие между множествами аналитических в ограниченной области Dи непрерывных в замкнутой области [img: http://localhost:8080/file/031601-111.jpg] функций [img: http://localhost:8080/file/031601-112.jpg] и обобщенных аналитических в Dфункций [img: http://localhost:8080/file/031601-113.jpg], причем [img: http://localhost:8080/file/031601-114.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031601-115.jpg] - вполне определенные функции, к-рые выражаются через коэффициенты Аи Всистемы (1). Из формулы (3) получаются различные интегральные представления О. а. ф., обобщающие интегральное представление Коши для аналитич. ций. Представление О. ф. в виде (3) оказалось полезным при исследовании краевых задач для О. а. ф. Если Аи В- аналитич. ции действительных переменных х, у, то для О. а. ф. в односвязной области имеет место представление [img: http://localhost:8080/file/031601-116.jpg] в к-ром [img: http://localhost:8080/file/031601-117.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031601-118.jpg] - аналитич. ции своих аргументов, выражающиеся через Аи В, а [img: http://localhost:8080/file/031601-119.jpg] - произвольная аналитич. ция переменного z. (Формула (4) не является частным случаем формулы (3).) В случае, когда Аи В- целые функции переменных хи у, представление (4) годится для любой односвязной области плоскости комплексного переменного 2. Проблема приведения общего эллиптич. уравнения 2-го порядка [img: http://localhost:8080/file/031601-120.jpg] к виду [img: http://localhost:8080/file/031601-121.jpg] эквивалентна задаче редукции к канонич. виду положительной квадратичной формы [img: http://localhost:8080/file/031601-122.jpg] Последняя проблема, в свою очередь, сводится к отысканию гомеоморфизмов уравнения Бельтрами [img: http://localhost:8080/file/031601-123.jpg] Если (5) - равномерно эллиптич. уравнение [img: http://localhost:8080/file/031601-124.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031601-125.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/031601-126.jpg] При изучении уравнения Бельтрами основным вопросом является построение нек-рого его гомеоморфизма для данной области D. Это вытекает из следующего утверждения: если [img: http://localhost:8080/file/031601-127.jpg] - гомеоморфизм уравнения Бельтрами, реализующий топологич. отображение области Dна область [img: http://localhost:8080/file/031601-128.jpg], то всякое другое его решение в Dимеет вид [img: http://localhost:8080/file/031601-129.jpg] где Ф - произвольная аналитич. ция в области [img: http://localhost:8080/file/031601-130.jpg] Когда [img: http://localhost:8080/file/031601-131.jpg] измерима, [img: http://localhost:8080/file/031601-132.jpg] вне Dи [img: http://localhost:8080/file/031601-133.jpg] однолистным решением уравнения Бельтрами (6) является функция [img: http://localhost:8080/file/031601-134.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031601-135.jpg] удовлетворяет сингулярному интегральному уравнению (интеграл понимается в смысле главного значения по Коши) [img: http://localhost:8080/file/031601-136.jpg] Это уравнение имеет единственное решение в нек-ром классе [img: http://localhost:8080/file/031601-137.jpg] его можно получить, напр., методом последовательных приближений. Функция (8) принадлежит классу [img: http://localhost:8080/file/031601-138.jpg] реализует топологич. отображение плоскости на себя, причем [img: http://localhost:8080/file/031601-139.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/031601-140.jpg]. Если [img: http://localhost:8080/file/031601-141.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031601-142.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/031601-143.jpg] Равномерно эллиптич. система двух уравнений 1-го порядка общего вида в комплексной записи имеет вид [img: http://localhost:8080/file/031601-144.jpg] С помощью гомеоморфизма нек-рого уравнения вида (6) систему (10) можно привести к виду (1). Но ее можно изучить также непосредственно, что позволяет избежать нек-рых дополнительных ограничений. Пусть уравнение (10) рассматривается в нек-рой ограниченной области при условии, что [img: http://localhost:8080/file/031601-145.jpg] р>2. Тогда всякое решение уравнения (10) представимо в виде [img: http://localhost:8080/file/031601-146.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031601-147.jpg] - нек-рый гомеоморфизм уравнения Бельтрами (6) с коэффициентом [img: http://localhost:8080/file/031601-148.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031601-149.jpg] - аналитич. ция в области [img: http://localhost:8080/file/031601-150.jpg], функция [img: http://localhost:8080/file/031601-151.jpg] голоморфна вне [img: http://localhost:8080/file/031601-152.jpg] и исчезает на бесконечности. Представление (11) имеет место и тогда, когда коэффициенты в левой части уравнения (10) зависят от [img: http://localhost:8080/file/031601-153.jpg] и от ее производных любого порядка, лишь бы на рассматриваемых решениях выполнялись указанные выше условия. Как и (2), формула (11) допускает обращение. Формула (11) позволяет перенести целый ряд свойств классич. теории аналитич. ций на решения уравнения (10): теорему единственности, принцип аргумента, принцип максимума и др. Общее (Q-квазиконформное отображение является решением нек-рой равномерно эллиптич. системы вида (10) (при А=В=0). Справедливо и обратное утверждение. Поэтому указанные выше результаты позволяют решить чисто аналитич. тем основные проблемы квазиконформных отображений. Теория О. а. ф. позволила исчерпывающим образом исследовать обобщенную задачу Римана - Гильберта: найти решение уравнения (1), непрерывное в [img: http://localhost:8080/file/031601-154.jpg], по краевому условию [img: http://localhost:8080/file/031601-155.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031601-156.jpg] - заданные действительные функции из класса [img: http://localhost:8080/file/031601-157.jpg] причем Область [img: http://localhost:8080/file/031601-158.jpg] D, вообще говоря, многосвязна. Задачу (12) можно редуцировать к эквивалентному сингулярному интегральному уравнению и получить полный качественный анализ краевой задачи (12). Пусть граница Sобласти Dсостоит из конечного числа простых замкнутых кривых [img: http://localhost:8080/file/031601-159.jpg] удовлетворяющих условиям Ляпунова. Так как при конформных отображениях вид уравнения и краевого условия сохраняются, то без ущерба общности можно считать, что [img: http://localhost:8080/file/031601-160.jpg] - единичная окружность с центром в точке z=0, принадлежащая рассматриваемой области D, а [img: http://localhost:8080/file/031601-161.jpg] - окружности, лежащие внутри [img: http://localhost:8080/file/031601-162.jpg] Индексом задачи (12) наз. целое число п, равное приращению [img: http://localhost:8080/file/031601-163.jpg] когда точка [img: http://localhost:8080/file/031601-164.jpg] один раз обойдет Sв положительном направлении. Краевое условие можно привести к более простому виду [img: http://localhost:8080/file/031601-165.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031601-166.jpg] на [img: http://localhost:8080/file/031601-167.jpg], причем [img: http://localhost:8080/file/031601-168.jpg] - некоторые действительные параметры, к-рые однозначно выражаются через [img: http://localhost:8080/file/031601-169.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031601-170.jpg] Для сопряженной задачи: [img: http://localhost:8080/file/031601-171.jpg] Индекс вычисляется по формуле [img: http://localhost:8080/file/031601-172.jpg]. Основные результаты по задаче (12) можно сформулировать в виде следующих утверждений. 1) Задача (12) имеет решение тогда и только тогда, когда [img: http://localhost:8080/file/031601-173.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031601-174.jpg] - производное решение сопряженной задачи. 2) Пусть [img: http://localhost:8080/file/031601-175.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031601-176.jpg] - числа линейно независимых решений однородных задач (12) и (13) соответственно. Тогда [img: http://localhost:8080/file/031601-177.jpg] 3) Если [img: http://localhost:8080/file/031601-178.jpg], то однородная задача (12) не имеет нетривиальных решений. 4) Если [img: http://localhost:8080/file/031601-179.jpg], то однородная задача (12) имеет ровно [img: http://localhost:8080/file/031601-180.jpg] линейно независимых решений, а неоднородная задача (12) всегда разрешима. Если [img: http://localhost:8080/file/031601-181.jpg], то неоднородная задача (12) имеет решение (единственвое) тогда и только тогда, когда [img: http://localhost:8080/file/031601-182.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031601-183.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031601-184.jpg] - полная система решений однородной задачи (13). 5) Если т=0 и n=0, то l=1 и все решения однородной задачи имеют вид [img: http://localhost:8080/file/031601-185.jpg] где с - действительная постоянная, а [img: http://localhost:8080/file/031601-186.jpg] - непрерывная в [img: http://localhost:8080/file/031601-187.jpg] функция. Приведенные результаты полностью характеризуют задачу (12) в односвязном (т=0)и многосвязном (n<0, n>m-1) случаях. Особого рассмотрения требует случай [img: http://localhost:8080/file/031601-188.jpg]