Обобщенная производная

типа функции - распространение понятия производной на некоторые классы недифференцируемых функций. Первое определение принадлежит С. Л. Соболеву (см. [1], [2]), к-рый подошел к определению О. п. с точки зрения идеи введенного им понятия обобщенной функции. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031601-189.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031601-190.jpg] - локально интегрируемые функции на открытом множестве [img: http://localhost:8080/file/031601-191.jpg] n-мерного пространства [img: http://localhost:8080/file/031601-192.jpg], т. е. интегрируемые по Лебегу на любом замкнутом ограниченном множестве [img: http://localhost:8080/file/031601-193.jpg]. Тогда [img: http://localhost:8080/file/031601-194.jpg] есть обобщенная частная производная от fпо xj на [img: http://localhost:8080/file/031601-195.jpg] и пишут [img: http://localhost:8080/file/031601-196.jpg], если для любой бесконечно дифференцируемой функции [img: http://localhost:8080/file/031601-197.jpg], финитной в [img: http://localhost:8080/file/031601-198.jpg] (см. Финитная функция), [img: http://localhost:8080/file/031601-199.jpg] Второе эквивалентное определение О. п. [img: http://localhost:8080/file/031601-200.jpg] заключается в следующем. Если f можно видоизменить на множестве re-мерной меры нуль так, что видоизмененная функция (к-рая снова обозначается через f) будет локально абсолютно непрерывной по х j почти для всех (в смысле (п-1)-мерной меры) x j=(x1..., xj-1, xj + 1,..., х п), принадлежащих к проекции [img: http://localhost:8080/file/031601-201.jpg] области [img: http://localhost:8080/file/031601-202.jpg] на плоскость; [img: http://localhost:8080/file/031601-203.jpg], то f имеет частную (в обычном смысле этого слова) производную [img: http://localhost:8080/file/031601-204.jpg] почти всюду на [img: http://localhost:8080/file/031601-205.jpg]. Если функция [img: http://localhost:8080/file/031601-206.jpg] почти всюду на [img: http://localhost:8080/file/031601-207.jpg], то [img: http://localhost:8080/file/031601-208.jpg] есть О. п. от fпо [img: http://localhost:8080/file/031601-209.jpg] на [img: http://localhost:8080/file/031601-210.jpg]. Таким образом, О. п. определена на [img: http://localhost:8080/file/031601-211.jpg] почти всюду; если f непрерывна и имеет на [img: http://localhost:8080/file/031601-212.jpg] непрерывную обычную производную [img: http://localhost:8080/file/031601-213.jpg], то последняя есть в то же время О. п. от fпо [img: http://localhost:8080/file/031601-214.jpg] на [img: http://localhost:8080/file/031601-215.jpg] О. п. [img: http://localhost:8080/file/031601-216.jpg] высшего порядка определяются по индукции. Они не зависят (почти всюду) от порядка дифференцирования. Имеется третье эквивалентное определение О. п. Пусть для всякого замкнутого ограниченного [img: http://localhost:8080/file/031601-217.jpg] функции [img: http://localhost:8080/file/031601-218.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031601-219.jpg], заданные на W, обладают свойствами: [img: http://localhost:8080/file/031601-220.jpg] где функции [img: http://localhost:8080/file/031601-221.jpg] непрерывны на [img: http://localhost:8080/file/031601-222.jpg] вместе со своими частными производными [img: http://localhost:8080/file/031601-223.jpg]; тогда [img: http://localhost:8080/file/031601-224.jpg] есть О. п. по [img: http://localhost:8080/file/031601-225.jpg] от [img: http://localhost:8080/file/031601-226.jpg] на [img: http://localhost:8080/file/031601-227.jpg] (см. также Соболевапространство). С точки зрения теории обобщенных функций О. п. определяется следующим образом. Пусть задана функция [img: http://localhost:8080/file/031601-228.jpg], локально суммируемая на [img: http://localhost:8080/file/031601-229.jpg], рассматриваемая как обобщенная функция, и пусть [img: http://localhost:8080/file/031601-230.jpg] - частная производная в смысле теории обобщенных функций. Если окажется, что [img: http://localhost:8080/file/031601-231.jpg] представляет локально суммируемую на [img: http://localhost:8080/file/031601-232.jpg] функцию, то тогда (по первому (исходному) определению) [img: http://localhost:8080/file/031601-233.jpg] есть О. п. Понятие О. п. вводилось и ранее (см., напр., [3], где рассматривались О. п. с интегрируемым квадратом на [img: http://localhost:8080/file/031601-234.jpg]). В дальнейшем многие исследователи приходили к этому понятию независимо от своих предшественников (см. по этому вопросу [4]).