Обобщенная функция

- математическое понятие, обобщающее классич. понятие функции. Потребность в таком обобщении возникает во многих технич., физич. и математич. задачах. Понятие О. ф. дает возможность выразить в математически корректной форме такие идеализированные понятия, как плотность материальной точки, точечного заряда, точечного диполя, (пространственную) плотность простого или двойного слоя, интенсивность мгновенного источника и т. д. С другой стороны, в понятии О. ф. находит отражение тот факт, что реально нельзя измерить значение физич. величины в точке, а можно измерять лишь ее средние значения в достаточно малых окрестностях данной Toq-ки. Таким образом, техника О. ф. служит удобным и адекватным аппаратом для описания распределений различных физич. величин. Поэтому иначе О. ф. наз. распределениями (distributions). О. ф. были введены впервые в кон. 20-х гг. 20 в. П. Дираком (P. Dirac, см. [1]) в его исследованиях по квантовой механике, где он систематически использует понятие б-функции и ее производных (см. Дельта-функция). Основы математич. теории О. ф. были заложены С. Л. Соболевым [2] в 1936 при решении задачи Коши для гиперболич. уравнений, а в 50-х гг. Л. Шварц (см. [3]) дал систематич. изложение теории О. ф. и указал многие применения. В дальнейшем теория О. ф. интенсивно развивалась многими математиками и физиками-теоретиками, главным образом в связи с потребностями теоретич. и математич. физики и теории дифференциальных уравнений (см. [4] - [7]). Теория О. ф. далеко продвинута, имеет многочисленные применения и широко вошла в обиход математика, физика и инженера. Формально О. ф. f определяется как линейный непрерывный функционал над тем или иным векторным пространством достаточно "хороших" (основных) функций [img: http://localhost:8080/file/031601-235.jpg]. Важным примером основного пространства является пространство D(О)- совокупность финитных [img: http://localhost:8080/file/031601-236.jpg] (О)-функций в открытом множестве [img: http://localhost:8080/file/031601-237.jpg], снабженная топологией строгого индуктивного предела (объединения) пространств [img: http://localhost:8080/file/031601-238.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031601-239.jpg] Пространство [img: http://localhost:8080/file/031601-240.jpg] есть совокупность [img: http://localhost:8080/file/031601-241.jpg] -функций с носителем в [img: http://localhost:8080/file/031601-242.jpg], снабженная топологией счетного числа норм [img: http://localhost:8080/file/031601-243.jpg] Примером основной функции из [img: http://localhost:8080/file/031601-244.jpg] служит "шапочка": [img: http://localhost:8080/file/031601-245.jpg] Сопряженное к D(О)пространство есть пространство О. ф. D' (О); [img: http://localhost:8080/file/031601-246.jpg] Сходимость последовательности О. ф. из D' (О)определяется как слабая сходимость функционалов из [img: http://localhost:8080/file/031601-247.jpg], т. е. [img: http://localhost:8080/file/031601-248.jpg] означает, что [img: http://localhost:8080/file/031601-249.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/031601-250.jpg]. Для того чтобы линейный функционал f на D(О)был О. ф. в О, т. е. [img: http://localhost:8080/file/031601-251.jpg], необходимо и достаточно, чтобы для любого открытого множества [img: http://localhost:8080/file/031601-252.jpg] существовали числа Ки т такие, что [img: http://localhost:8080/file/031601-253.jpg] Если в неравенстве (1) целое число тможно выбрать независящим от О', то О. ф. f имеет конечный порядок; наименьшее такое тназ. порядком f в О. Таким образом, в силу (1), всякая О. ф. f из D' (О)имеет конечный порядок в любом [img: http://localhost:8080/file/031601-254.jpg] Пространство D' (О)- полное: если последовательность О. ф. [img: http://localhost:8080/file/031601-255.jpg] из D' (О)такова, что для любой функции [img: http://localhost:8080/file/031601-256.jpg] числовая последовательность [img: http://localhost:8080/file/031601-257.jpg] сходится, то функционал [img: http://localhost:8080/file/031601-258.jpg] принадлежит D' (О). Простейшими примерами О. ф. являются функционалы, порождаемые локально суммируемыми в Офункциями [img: http://localhost:8080/file/031601-259.jpg] О. ф., определяемые локально суммируемыми в Офункциями f(x)по формуле (2), наз. регулярными О. ф. в О;остальные О. ф. наз. сингулярными. Между локально суммируемыми в Офункциями и регулярными О. ф. в Осуществует взаимно однозначное соответствие. В этом смысле "обычные", т. е. локально суммируемые в О, функции являются (регулярными) О. ф. из D' (О). Примером сингулярной О. ф. в [img: http://localhost:8080/file/031601-260.jpg] служит d-функция Дирака [img: http://localhost:8080/file/031601-261.jpg] Она описывает плотность массы 1, сосредоточенной в точке х=0. При этом "шапочка" [img: http://localhost:8080/file/031601-262.jpg] (слабо) аппроксимирует [img: http://localhost:8080/file/031601-263.jpg] -функцию [img: http://localhost:8080/file/031601-264.jpg] Пусть [img: http://localhost:8080/file/031601-265.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031601-266.jpg] - "шапочка". Тогда функция [img: http://localhost:8080/file/031601-267.jpg] из [img: http://localhost:8080/file/031601-268.jpg] наз. регуляризацией f, и [img: http://localhost:8080/file/031601-269.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031601-270.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/031601-271.jpg]. Более того, всякая f из [img: http://localhost:8080/file/031601-272.jpg] есть слабый предел функций из D(O). Последнее свойство иногда берется в качестве исходного для определения О. ф., что вместе с теоремой о полноте пространства О. ф. приводит к эквивалентному определению О. ф. [8]. О. ф., вообще говоря, не имеют значений в отдельных точках. Тем не менее можно говорить о совпадении О. ф. с локально суммируемой функцией на открытом множестве: О. ф. f из D' (О)совпадает в [img: http://localhost:8080/file/031601-273.jpg] с локально суммируемой в О' функцией [img: http://localhost:8080/file/031601-274.jpg], если ее сужение на О' есть f0, т. е. в соответствии с (2) [img: http://localhost:8080/file/031601-275.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/031601-276.jpg], при этом считается [img: http://localhost:8080/file/031601-277.jpg] В частности, при [img: http://localhost:8080/file/031601-278.jpg] получается определение того, что О. ф. fобращается в нуль в О'. Множество точек О, ни в какой окрестности к-рых О. ф. не обращается в нуль, наз. носителем О. ф. f и обозначается supp f. Если [img: http://localhost:8080/file/031601-279.jpg] то О. ф. f наз. финитной в О. Справедлива теорема окусочном склеивании обобщенной функции: пусть в окрестности [img: http://localhost:8080/file/031601-280.jpg] каждой точкизадана [img: http://localhost:8080/file/031601-281.jpg] О. ф. fy из [img: http://localhost:8080/file/031601-282.jpg], причем элементы fy согласованы, т. е. [img: http://localhost:8080/file/031601-283.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031601-284.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/031601-285.jpg] тогда существует О. ф. f из D' (О), совпадающая с fy в Uy при всех [img: http://localhost:8080/file/031601-286.jpg] Примеры обобщенных функций. 1) [img: http://localhost:8080/file/031601-287.jpg] -функция Дирака: [img: http://localhost:8080/file/031601-288.jpg] 2) О. ф. [img: http://localhost:8080/file/031601-289.jpg] определяемая равенством [img: http://localhost:8080/file/031601-290.jpg] наз. конечной частью, или главным значением, интеграла от функции [img: http://localhost:8080/file/031601-291.jpg]; [img: http://localhost:8080/file/031601-292.jpg] сингулярна в [img: http://localhost:8080/file/031601-293.jpg], однако на открытом множестве [img: http://localhost:8080/file/031601-294.jpg] она регулярна и совпадает с [img: http://localhost:8080/file/031601-295.jpg] 3) Поверхностная [img: http://localhost:8080/file/031601-296.jpg] -функция. Пусть S- кусочно гладкая поверхность и [img: http://localhost:8080/file/031601-297.jpg] - непрерывная функция на S. О. ф. [img: http://localhost:8080/file/031601-298.jpg] определяется равенством [img: http://localhost:8080/file/031601-299.jpg] При этом [img: http://localhost:8080/file/031601-300.jpg] - сингулярная О. ф. Эта О. ф. описывает пространственную плотность масс или зарядов, сосредоточенных на поверхности Sс поверхностной плотностью m (плотность простого слоя). Линейные операции над О. ф. вводятся как расширение соответствующих операций над основными функциями. а) Замена переменных. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031601-301.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031601-302.jpg] - неособенное линейное преобразование Она O1 О. ф. [img: http://localhost:8080/file/031601-303.jpg] определяется равенством [img: http://localhost:8080/file/031601-304.jpg] Так как операция [img: http://localhost:8080/file/031601-305.jpg] - изоморфизм D(O)на D(O1), то операция [img: http://localhost:8080/file/031601-306.jpg] - изоморфизм D' (О)на D' (O1). В частности, если [img: http://localhost:8080/file/031601-307.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031601-308.jpg], [img: http://localhost:8080/file/031601-309.jpg] ([img: http://localhost:8080/file/031601-310.jpg] - подобие (с отражением при [img: http://localhost:8080/file/031601-311.jpg])), то [img: http://localhost:8080/file/031601-312.jpg] Формула (3) позволяет определить трансляционно инвариантные, сферически симметричные, центрально симметричные, однородные, периодические, лоренц-инвариантные и т. д. О. ф. Пусть функция [img: http://localhost:8080/file/031601-313.jpg] имеет только простые нули [img: http://localhost:8080/file/031601-314.jpg] на оси [img: http://localhost:8080/file/031601-315.jpg]. Функция [img: http://localhost:8080/file/031601-316.jpg] определяется равенством [img: http://localhost:8080/file/031601-317.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031601-318.jpg] б) Произведение. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031601-319.jpg] Произведение [img: http://localhost:8080/file/031601-320.jpg] определяется равенством [img: http://localhost:8080/file/031601-321.jpg] Оказывается, что [img: http://localhost:8080/file/031601-322.jpg] и для обычных локально суммируемых функций произведение af совпадает с обычным умножением функций f(x) и a(x) [img: http://localhost:8080/file/031601-323.jpg] Однако эта операция произведения не допускает распространения на любые О. ф. так, чтобы она была ассоциативной и коммутативной. Действительно, в противном случае получилось бы противоречие: [img: http://localhost:8080/file/031601-324.jpg] В нек-рых классах О. ф. такое произведение можно определить, однако оно может оказаться неоднозначным. в) Дифференцирование. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031601-325.jpg] Обобщенная (слабая) производная О. ф. f [img: http://localhost:8080/file/031601-326.jpg] порядка [img: http://localhost:8080/file/031601-327.jpg] определяется равенством [img: http://localhost:8080/file/031601-328.jpg] Так как операция [img: http://localhost:8080/file/031601-329.jpg] линейна и непрерывна из D(О) в D (О), то функционал [img: http://localhost:8080/file/031601-330.jpg], определяемый правой частью равенства (4), есть О. ф. из D' (О). Если [img: http://localhost:8080/file/031601-331.jpg] при всех а таких, что [img: http://localhost:8080/file/031601-332.jpg] Имеют место следующие свойства: операция [img: http://localhost:8080/file/031601-333.jpg] линейна и непрерывна из D' (О)в D' (О), любая О. ф. из D' (О)бесконечно дифференцируема (в обобщенном смысле); дифференцирование не зависит от порядка; справедлива формула Лейбница для дифференцирования произведения аf, где [img: http://localhost:8080/file/031601-334.jpg]; дифференцирование не увеличивает носителя; всякая О. ф. f из D' (О)во всяком открытом множестве [img: http://localhost:8080/file/031601-335.jpg] есть нек-рая производная от непрерывной функции в О';любое дифференциальное уравнение [img: http://localhost:8080/file/031601-336.jpg], с постоянными коэффициентами разрешимо в D' (О), если О- выпуклая область; любая О. ф. f порядка Nс носителем в точке 0 единственным образом представляется в виде [img: http://localhost:8080/file/031601-337.jpg] Примеры. 10) [img: http://localhost:8080/file/031601-338.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/031601-339.jpg] - функция Хевисайда (функция включения): [img: http://localhost:8080/file/031601-340.jpg] 11) [img: http://localhost:8080/file/031601-341.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031601-342.jpg] описывает плотность зарядов, соответствующих диполю момента +1 в точке х=0 и ориентированного вдоль положительного направления оси х. 12) Обобщением [img: http://localhost:8080/file/031601-343.jpg] является нормальная производная от плотности простого слоя на ориентируемой поверхности S: [img: http://localhost:8080/file/031601-344.jpg] О. ф. [img: http://localhost:8080/file/031601-345.jpg] описывает пространственную плотность зарядов, соответствующую распределению диполей на поверхности Sс поверхностной плотностью момента m, и ориентированных вдоль заданного направления нормали пна S(плотность двойного слоя). 13)Общее решение уравненияв [img: http://localhost:8080/file/031601-346.jpg] классе [img: http://localhost:8080/file/031601-347.jpg] есть [img: http://localhost:8080/file/031601-348.jpg], где С- произвольная постоянная. 14) Общее решение уравнения [img: http://localhost:8080/file/031601-349.jpg] в классе [img: http://localhost:8080/file/031601-350.jpg] есть [img: http://localhost:8080/file/031601-351.jpg] 15) [img: http://localhost:8080/file/031601-352.jpg] 16) Тригонометрический ряд [img: http://localhost:8080/file/031601-353.jpg] сходится в [img: http://localhost:8080/file/031601-354.jpg] и его можно дифференцировать в [img: http://localhost:8080/file/031601-355.jpg] почленно бесконечное число раз. [img: http://localhost:8080/file/031601-356.jpg] г)Прямое произведение. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031601-357.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031601-358.jpg]. Прямое произведение определяется по формуле [img: http://localhost:8080/file/031601-359.jpg] Так как операция [img: http://localhost:8080/file/031601-360.jpg] линейна и непрерывна из [img: http://localhost:8080/file/031601-361.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/031601-362.jpg], то функционал [img: http://localhost:8080/file/031601-363.jpg], определяемый формулой (5), есть О. ф. из [img: http://localhost:8080/file/031601-364.jpg] Прямое произведение - коммутативная и ассоциативная операция, причем [img: http://localhost:8080/file/031601-365.jpg] О. ф. [img: http://localhost:8080/file/031601-366.jpg] из [img: http://localhost:8080/file/031601-367.jpg] не зависит от переменной у, если она представима в виде [img: http://localhost:8080/file/031601-368.jpg] в этом случае пишется [img: http://localhost:8080/file/031601-369.jpg] Примеры. 18) [img: http://localhost:8080/file/031601-370.jpg] 19) Общее решение в [img: http://localhost:8080/file/031601-371.jpg] уравнения колебаний однородной струны [img: http://localhost:8080/file/031601-372.jpg] задается формулой [img: http://localhost:8080/file/031601-373.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031601-374.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031601-375.jpg] - произвольные О. ф. из [img: http://localhost:8080/file/031601-376.jpg] д) Свертка. Пусть О. ф. f и gиз [img: http://localhost:8080/file/031601-377.jpg] обладают тем свойством, что их прямое произведение [img: http://localhost:8080/file/031601-378.jpg] допускает расширение на функции вида [img: http://localhost:8080/file/031601-379.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/031601-380.jpg] пробегает [img: http://localhost:8080/file/031601-381.jpg], в следующем смысле: для всякой последовательности функций [img: http://localhost:8080/file/031601-383.jpg] из [img: http://localhost:8080/file/031601-382.jpg] со свойствами [img: http://localhost:8080/file/031601-384.jpg] (на любом компакте), числовая последовательность [img: http://localhost:8080/file/031601-385.jpg] имеет предел, не зависящий от последовательности [img: http://localhost:8080/file/031601-386.jpg]. Этот предел наз. сверткой О. ф. f и gи обозначается [img: http://localhost:8080/file/031601-387.jpg], так что [img: http://localhost:8080/file/031601-388.jpg] Из полноты пространства [img: http://localhost:8080/file/031601-389.jpg] следует, что [img: http://localhost:8080/file/031601-390.jpg] Как показывают элементарные примеры, свертка существует не для любых пар f и g. Она заведомо существует, если одна из О. ф. финитна. Если свертка существует в [img: http://localhost:8080/file/031601-391.jpg], то она коммутативна [img: http://localhost:8080/file/031601-392.jpg] и справедливы формулы дифференцирования свертки [img: http://localhost:8080/file/031601-393.jpg] Далее, [img: http://localhost:8080/file/031601-394.jpg] откуда из (7) получается [img: http://localhost:8080/file/031601-395.jpg] Наконец, [img: http://localhost:8080/file/031601-396.jpg] Как показывает пример: [img: http://localhost:8080/file/031601-397.jpg] свертка - неассоциативная операция. Однако существуют ассоциативные (и коммутативные) сверточные алгебры. Единицей в них, в силу (8), служит [img: http://localhost:8080/file/031601-398.jpg] -функция. Сверточную алгебру образует, напр., множество [img: http://localhost:8080/file/031601-399.jpg], состоящее из О. ф. из [img: http://localhost:8080/file/031601-400.jpg] с носителями в выпуклом остром и замкнутом конусе Г с вершиной в 0. Обозначение: [img: http://localhost:8080/file/031601-401.jpg] О. ф. [img: http://localhost:8080/file/031601-402.jpg] из [img: http://localhost:8080/file/031601-403.jpg] наз. фундаментальным решением (функцией точечного источника) дифференциального оператора L(D)с постоянными коэффициентами, если она удовлетворяет уравнению [img: http://localhost:8080/file/031601-404.jpg] Зная фундаментальное решение [img: http://localhost:8080/file/031601-405.jpg] оператора L(D), можно построить решение уравнения [img: http://localhost:8080/file/031601-406.jpg] для тех fиз [img: http://localhost:8080/file/031601-407.jpg], для к-рых, свертка [img: http://localhost:8080/file/031601-408.jpg] существует, и это решение дается формулой [img: http://localhost:8080/file/031601-409.jpg]. Примеры. 20) Ядро оператора дробного дифференцирования и дробного интегрирования [img: http://localhost:8080/file/031601-410.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031601-411.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031601-412.jpg] При этом [img: http://localhost:8080/file/031601-413.jpg] -целое. Если [img: http://localhost:8080/file/031601-414.jpg] есть первообразная порядка [img: http://localhost:8080/file/031601-415.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/031601-416.jpg] > 0 (производная порядка - [img: http://localhost:8080/file/031601-417.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/031601-418.jpg] <0). [img: http://localhost:8080/file/031601-419.jpg] е) Преобразование Фурье. Оно определяется для класса О. ф. [img: http://localhost:8080/file/031601-420.jpg] медленного роста. Пространство основных функций [img: http://localhost:8080/file/031601-421.jpg] состоит из [img: http://localhost:8080/file/031601-422.jpg] -функций, убывающих на бесконечности вместе со всеми производными быстрее любой степени [img: http://localhost:8080/file/031601-423.jpg]. Топология в Sзадается счетным числом норм [img: http://localhost:8080/file/031601-424.jpg] При этом [img: http://localhost:8080/file/031601-425.jpg] где указанные вложения непрерывны. Локально суммируемые в [img: http://localhost:8080/file/031601-426.jpg] функции медленного роста содержатся в [img: http://localhost:8080/file/031601-427.jpg], определяя по формуле (2) регулярные функционалы на S. Всякая О. ф. из [img: http://localhost:8080/file/031601-428.jpg] есть нек-рая производная от непрерывной функции медленного роста и, стало быть, имеет конечный порядок в [img: http://localhost:8080/file/031601-429.jpg] Преобразование Фурье [img: http://localhost:8080/file/031601-430.jpg] О. ф. [img: http://localhost:8080/file/031601-431.jpg] из S' определяется равенством [img: http://localhost:8080/file/031601-432.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031601-433.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031601-434.jpg] - классич. преобразование Фурье. Так как операция [img: http://localhost:8080/file/031601-435.jpg] - изоморфизм S на S, то и операция [img: http://localhost:8080/file/031601-436.jpg] - изоморфизм [img: http://localhost:8080/file/031601-437.jpg] на [img: http://localhost:8080/file/031601-438.jpg], причем обратной операцией к Fслужит операция [img: http://localhost:8080/file/031601-439.jpg] Имеют место основные формулы для [img: http://localhost:8080/file/031601-440.jpg]: [img: http://localhost:8080/file/031601-441.jpg] если gфинитна. Если О. ф. f - периодическая с п- периодом [img: http://localhost:8080/file/031601-442.jpg] и ее можно разложить в тригонометрич. ряд [img: http://localhost:8080/file/031601-443.jpg] сходящийся к [img: http://localhost:8080/file/031601-444.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/031601-445.jpg]; здесь [img: http://localhost:8080/file/031601-446.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031601-447.jpg] ж) Преобразование Лапласа. Пусть О. ф. [img: http://localhost:8080/file/031601-448.jpg] где Г - замкнутый выпуклый острый конус. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031601-449.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031601-450.jpg] - сопряженный конус к Г. Преобразованием Лапласа О. ф. f наз. выражение [img: http://localhost:8080/file/031601-451.jpg] Операция [img: http://localhost:8080/file/031601-452.jpg] осуществляет изоморфизм сверточной алгебры [img: http://localhost:8080/file/031601-453.jpg] на алгебру Н(С), состоящую из функций f(z), голоморфных в трубчатой области [img: http://localhost:8080/file/031601-454.jpg]. [img: http://localhost:8080/file/031601-455.jpg] и удовлетворяющих условию роста: существуют числа [img: http://localhost:8080/file/031601-456.jpg] такие, что для любого конуса [img: http://localhost:8080/file/031601-457.jpg] существует число [img: http://localhost:8080/file/031601-458.jpg] такое, что [img: http://localhost:8080/file/031601-459.jpg] Обратное преобразование к преобразованию Лапласа Lзадается равенством [img: http://localhost:8080/file/031601-460.jpg] причем правая часть (10) не зависит от [img: http://localhost:8080/file/031601-461.jpg] Взаимно однозначное соответствие между [img: http://localhost:8080/file/031601-462.jpg] и f(z), задаваемое равенствами (9) и (10), удобно изображать в виде следующей схемы: [img: http://localhost:8080/file/031601-463.jpg] причем f наз. изображением g,a g- спектральной функцией функции f. Всякая f(z) из алгебры Н(С). имеет граничное значиние [img: http://localhost:8080/file/031601-464.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/031601-465.jpg] связанное со спектральной функцией gфункции f формулой [img: http://localhost:8080/file/031601-466.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031601-467.jpg] согласно (9). Справедливы следующие основные формулы для преобразования Лапласа: [img: http://localhost:8080/file/031601-468.jpg]