Обобщенных функций пространство

- пространство, сопряженное к пространству основных (достаточно хороших) функций. Важную роль здесь играют Фреше пространства (типа FS)и сильно сопряженные к ним (типа DFS). Пространство типа FS есть проективный предел компактной последовательности банаховых пространств и его сопряженное есть пространство типа DFS. Пространство типа DFS есть индуктивный предел компактной последовательности банаховых пространств и его сопряженное есть пространство типа FS. Пространства типов FS и DFS- полные, сепарабельные, рефлексивные и монтелевские. В пространствах типов FS n DFS слабая и сильная сходимости совпадают. Примеры пространств основных и обобщенных функций. 1) Пространства S и S'. Пространство основных (быстро убывающих) функций [img: http://localhost:8080/file/031602-349.jpg] состоит из [img: http://localhost:8080/file/031602-350.jpg] -функций, убывающих на бесконечности вместе со всеми производными быстрее любой степени [img: http://localhost:8080/file/031602-351.jpg]. Это пространство есть проективный предел последовательности банаховых пространств Sp, p=0, 1,..., состоящих из [img: http://localhost:8080/file/031602-352.jpg] -функций, с нормой [img: http://localhost:8080/file/031602-353.jpg] причем вложение [img: http://localhost:8080/file/031602-354.jpg] компактно; Sтипа FS. Сопряженное пространство [img: http://localhost:8080/file/031602-355.jpg] (пространство обобщенных функций медленного роста) есть индуктивный предел последовательности банаховых пространств [img: http://localhost:8080/file/031602-356.jpg] причем вложение [img: http://localhost:8080/file/031602-357.jpg] компактно, так что [img: http://localhost:8080/file/031602-358.jpg] тина DFS. Из (слабой) сходимости последовательности обобщенных функций в S следует сходимость по норме функционалов в нек-ром S'p. В пространствах [img: http://localhost:8080/file/031602-359.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031602-360.jpg] операция преобразования Фурье есть изоморфизм. 2) Пространства [img: http://localhost:8080/file/031602-361.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031602-362.jpg] (О - открытое множество в [img: http://localhost:8080/file/031602-363.jpg]). Пространство основных функций состоит из финитных в О [img: http://localhost:8080/file/031602-364.jpg] -функций (см. Обобщенной функции носитель). Оно снабжается топологией строгого индуктивного предела (возрастающей) последовательности пространств [img: http://localhost:8080/file/031602-365.jpg] типа [img: http://localhost:8080/file/031602-366.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/031602-367.jpg] - строго возрастающая последовательность открытых множеств, исчерпывающая [img: http://localhost:8080/file/031602-368.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031602-369.jpg] Пространство [img: http://localhost:8080/file/031602-370.jpg] есть проективный предел (убывающей) последовательности банаховых пространств [img: http://localhost:8080/file/031602-371.jpg] состоящих из [img: http://localhost:8080/file/031602-372.jpg] функций с носителем в [img: http://localhost:8080/file/031602-373.jpg], с нормой [img: http://localhost:8080/file/031602-374.jpg] причем вложение [img: http://localhost:8080/file/031602-375.jpg] компактно. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031602-376.jpg] - пространство, (сильно) сопряженное с D(О); [img: http://localhost:8080/file/031602-377.jpg]. Последовательность основных функций из [img: http://localhost:8080/file/031602-378.jpg] сходится в [img: http://localhost:8080/file/031602-379.jpg], если она сходится в каком-либо пространстве [img: http://localhost:8080/file/031602-380.jpg]. Последовательность обобщенных функций из D' (О)сходится в D' (О), если она сходится на каждом элементе из D(О)(слабая сходимость). Для того чтобы линейный функционал на D(О)был обобщенной функцией из D' (О), необходимо и достаточно, чтобы для любого открытого множества [img: http://localhost:8080/file/031602-381.jpg] существовали числа Ки ттакие, что [img: http://localhost:8080/file/031602-382.jpg] Пространство [img: http://localhost:8080/file/031602-383.jpg] - (слабо) полное: если последовательность обобщенных функций [img: http://localhost:8080/file/031602-384.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031602-385.jpg] такова, что для любой [img: http://localhost:8080/file/031602-386.jpg] из D(О)числовая последовательность [img: http://localhost:8080/file/031602-387.jpg] сходится, то функционал [img: http://localhost:8080/file/031602-388.jpg] принадлежит D' (О). Обобщенная функция из D' (О)имеет произвольный "рост" в окрестности границы дО, в частности любая функция [img: http://localhost:8080/file/031602-389.jpg] определяет обобщенную функцию из [img: http://localhost:8080/file/031602-390.jpg] по формуле [img: http://localhost:8080/file/031602-391.jpg] 3) Пространства [img: http://localhost:8080/file/031602-392.jpg]. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031602-393.jpg] - банахово пространство, состоящее из всех функций [img: http://localhost:8080/file/031602-394.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031602-395.jpg] голоморфных в трубчатой области [img: http://localhost:8080/file/031602-396.jpg] с нормой [img: http://localhost:8080/file/031602-397.jpg] вложение [img: http://localhost:8080/file/031602-398.jpg] компактно. Пусть Ф - индуктивный предел (возрастающей) последовательности пространств [img: http://localhost:8080/file/031602-399.jpg] Пространство Ф типа DFS, а его сопряженное Ф' типа FS. Элементы Ф являются Фурье - гиперфункциями; Ф' изоморфно также пространству [img: http://localhost:8080/file/031602-400.jpg]