Оболочек теория

- направление в теории упругости и строительной механике, основная цель к-рого состоит в описании напряжений н деформаций, возникающих под действием внешних нагрузок в оболочке. Оболочка - твердое тело, ограниченное двумя поверхностями, к-рое обладает малой по сравнению с другими характерными размерами толщиной. В О. т. рассматриваются и другие внешние воздействия, напр, тепловые. В О. т. вводится гладкая поверхность g, наз. срединной, по обе стороны к-рой на расстоянии h(x)вдоль нор. [img: http://localhost:8080/file/031602-404.jpg] в к-рой [img: http://localhost:8080/file/031602-405.jpg] - компоненты внешней нагрузки, [img: http://localhost:8080/file/031602-406.jpg] - линейные дифференциальные операторы с коэффициентами, зависящими от геометрич. характеристик поверхности g,a u j (x)- искомые компоненты вектора перемещения точки срединной поверхности. Система (1) решается при четырех граничных условиях, к-рые зависят от характера закрепления края g. Операторы [img: http://localhost:8080/file/031602-407.jpg] в (1) имеют специальный вид: [img: http://localhost:8080/file/031602-408.jpg] малый параметр [img: http://localhost:8080/file/031602-409.jpg] стоит при старших производных. Система (1) является эллиптической в смысле Дуглиса-Ниренберга (см. [5]) и формально самосопряженной (см. [7]). При естественно возникающих граничных условиях система (1) порождает эллиптич. краевую задачу. Систему (1) принято наз. системой уравнений моментной О. т., поскольку при ее получении учитываются члены, содержащие изгибающие и крутящие моменты. При дополнительных предположениях указанными членами пренебрегают, что приводит к безмоментной (мембранной) О. т. Формально этот переход сводится к отбрасыванию в (1) членов, содержащих малый параметр [img: http://localhost:8080/file/031602-410.jpg]. Безмоментная система [img: http://localhost:8080/file/031602-411.jpg] существенно проще, чем система (1). Все операторы в (2) не выше 2-го порядка. Порядок определителя главного символа (характеристич. полинома) в случае системы (2) равен 4, а в случае (1) равен 8. Наличие малого параметра в (1) позволяет воспользоваться процедурой асимптотич. интегрирования (см. [4]). Если гауссова кривизна Ксрединной поверхности gположительна, то система (2) эллиптична и при условиях полного или частичного закрепления края вырождение моментной задачи в безмоментную при [img: http://localhost:8080/file/031602-412.jpg] регулярно. Заметное расхождение решений возможно лишь в малой окрестности края [img: http://localhost:8080/file/031602-413.jpg] (краевой эффект). При. [img: http://localhost:8080/file/031602-414.jpg] картина вырождения моментной системы при [img: http://localhost:8080/file/031602-415.jpg] существенно сложнее; переход от системы (1) к (2) может привести к значительным погрешностям не только у края g, но и всюду внутри. Используемая в О. т. процедура асимптотич. интегрирования при нерегулярном вырождении еще (1982) не нашла математич. обоснования. Безмоментная О. т. тесно связана с проблемой бесконечно малых изгибаний поверхностей. Существенный вклад в безмоментную О. т. и одновременно в теорию бесконечно малых изгибаний был внесен благодаря привлечению аппарата обобщенных аналитических функций (см. [2]). Важной задачей О. т. является исследование устойчивости форм равновесия, с к-рой связана проблема определения критич. нагрузки. Эти задачи рассматриваются в линейной (точнее, использующей линеаризацию) и нелинейной постановках. Один из методов их решения в нелинейной постановке существенно использует теорию изгибаний (см. [8]). В задачах статики эффективен метод комплексного представления уравнений О. т., позволяющий путем введения вспомогательных функций свести систему (1) к эквивалентной системе с характеристич. многочленом 4-го порядка (см. [7]). Среди вопросов динамики, подвергшихся интенсивному математич. анализу, находится проблема свободных и вынужденных колебаний, совершаемых оболочкой. Методами асимптотич. интегрирования и спектральной теории операторов найдена структура спектра собственных частот и строение соответствующих форм свободных колебаний (см. [5], [9]). В О. т. широко используются методы вычислительной математики. В случае разделяющихся переменных в статич. и динамич. задачах особенно эффективен метод прогонки, в случае оболочек произвольного очертания- метод конечных элементов.