Обратимый пучок

- локально свободный пучок [img: http://localhost:8080/file/031602-457.jpg] -модулей ранга 1 на окольцованном пространстве ' [img: http://localhost:8080/file/031602-458.jpg]. Эквивалентное определение О. п.: пучок [img: http://localhost:8080/file/031602-459.jpg] -модулей, локально изоморфный пучку [img: http://localhost:8080/file/031602-460.jpg]. О. п. на X, рассматриваемые с точностью до изоморфизма, образуют абелеву группу относительно операции тензорного умножения над [img: http://localhost:8080/file/031602-461.jpg]. Эта группа наз. Пикара группой пространства Xи обозначается Pic X. Обратным к пучку. [img: http://localhost:8080/file/031602-462.jpg] будет в ней пучок [img: http://localhost:8080/file/031602-463.jpg] двойственный к [img: http://localhost:8080/file/031602-464.jpg]. В случае, когда [img: http://localhost:8080/file/031602-465.jpg] - схема (в частности, алгебраич. многообразие) или аналитич. ространство, пучок [img: http://localhost:8080/file/031602-466.jpg] -модулей обратим тогда и только тогда, когда он изоморфен пучку регулярных (соответственно аналитических) сечений нек-рого линейного алгебраического (соответственно аналитического) расслоения над X. О. п. на схемах тесно связаны с дивизорами. Каждому дивизору Картье Dна Xсопоставляется О. п. [img: http://localhost:8080/file/031602-467.jpg] чем определяется инъективный гомоморфизм [img: http://localhost:8080/file/031602-468.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031602-469.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/031602-470.jpg] - группа классов дивизоров Картье на X. Для целых схем Xэтот гомоморфизм является изоморфизмом. На проективной схеме Xопределяется подкручивающий обратимый пучок Серра [img: http://localhost:8080/file/031602-471.jpg]. А именно, если задано вложение схемы X в проективное пространство [img: http://localhost:8080/file/031602-472.jpg], то [img: http://localhost:8080/file/031602-473.jpg] соответствует классу гиперплоского сечения. В частности, если [img: http://localhost:8080/file/031602-474.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031602-475.jpg] - проективное пространство над полем к, то пучок [img: http://localhost:8080/file/031602-476.jpg] есть прямой образ пучка линейных функций на [img: http://localhost:8080/file/031602-477.jpg] при естественном отображении [img: http://localhost:8080/file/031602-478.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031602-479.jpg]... Систему однородных координат [img: http://localhost:8080/file/031602-480.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/031602-481.jpg] можно отождествить с базисом пространства сечений [img: http://localhost:8080/file/031602-482.jpg] О. п. на схеме Xнад полем ксвязаны с рациональными отображениями схемы Xв проективные пространства. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031602-483.jpg] ' - О. п. на схеме [img: http://localhost:8080/file/031602-484.jpg] - сечения пучка [img: http://localhost:8080/file/031602-485.jpg], значения к-рых в любой точке [img: http://localhost:8080/file/031602-486.jpg] порождают слой [img: http://localhost:8080/file/031602-487.jpg] над [img: http://localhost:8080/file/031602-488.jpg]. Тогда существует единственный морфнзм [img: http://localhost:8080/file/031602-489.jpg] такой, что [img: http://localhost:8080/file/031602-490.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031602-491.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031602-492.jpg] - однородные координаты в [img: http://localhost:8080/file/031602-493.jpg]. О. п. [img: http://localhost:8080/file/031602-494.jpg] на Xназ. очень обильным, если существует такое вложение [img: http://localhost:8080/file/031602-495.jpg] что [img: http://localhost:8080/file/031602-496.jpg]. О. п. [img: http://localhost:8080/file/031602-497.jpg] на Xназ. обильным, если существует такое целое положительное п, что [img: http://localhost:8080/file/031602-498.jpg] очень обилен. На нётеровой схеме Xнад кобратимый пучок [img: http://localhost:8080/file/031602-499.jpg] обилен тогда и только тогда, когда для каждого когерентного пучка, [img: http://localhost:8080/file/031602-500.jpg] на Xсуществует такое целое n о>0, что пучок [img: http://localhost:8080/file/031602-501.jpg] порождается при [img: http://localhost:8080/file/031602-502.jpg], своими глобальными сечениями. Если [img: http://localhost:8080/file/031602-503.jpg] - обильный О. п. на X, соответствующий дивизору D, то Dназ. обильным дивизором. Дивизор Картье Dна схеме X, собственной над алгебраически замкнутым полем к, обилен тогда и только тогда, когда для каждой замкнутой целой подсхемы [img: http://localhost:8080/file/031602-504.jpg] индекс пересечения [img: http://localhost:8080/file/031602-505.jpg] положителен, где r= dim Y. По поводу других критериев обильности см. [5]. Существует также обобщение понятия обильного дивизора на подмногообразия большей коразмерности [2]. Понятия очень обильного и обильного О. п. переносятся также на случай аналитич. ространств (по поводу критериев обильности в этой ситуации см. Положительное расслоение).