Обратное отображение

(обратный оператор) к однозначному отображению (оператору) [img: http://localhost:8080/file/031602-550.jpg] - однозначное отображение gтакое, что [img: http://localhost:8080/file/031602-551.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031602-552.jpg] - нек-рые множества. Если gудовлетворяет лишь условию (1), то оно наз. правым обратным отображением к f, если лишь (2) - левым обратным отображением к f. О. о. [img: http://localhost:8080/file/031602-553.jpg] существует тогда и только тогда, когда для любого, [img: http://localhost:8080/file/031602-554.jpg] полный прообраз [img: http://localhost:8080/file/031602-555.jpg] состоит из единственного элемента [img: http://localhost:8080/file/031602-556.jpg]. Если отображение f имеет обратное отображение f-1, то уравнение [img: http://localhost:8080/file/031602-557.jpg] однозначно разрешимо при любом [img: http://localhost:8080/file/031602-558.jpg]. Если существует только правое О. о. [img: http://localhost:8080/file/031602-559.jpg], то существует и решение уравнения (3), но вопрос об однозначности решения остается открытым. Наличие же лишь левого О. о. [img: http://localhost:8080/file/031602-560.jpg] обеспечивает единственность решения в предположении, что оно существует. Если Xи Y - векторные пространства, и A - линейный оператор из Xв Y, то А -1, если он существует, тоже линеен. Вообще, в случае наделения Xи Y той или иной структурой, случается, что нек-рые свойства оператора Асохраняются и при переходе к [img: http://localhost:8080/file/031602-561.jpg] в предположении, что он существует. Так, если Xи Y - банаховы пространства и [img: http://localhost:8080/file/031602-562.jpg] - замкнутый оператор, то [img: http://localhost:8080/file/031602-563.jpg] также замкнут; если Н- гильбертово пространство и [img: http://localhost:8080/file/031602-564.jpg] самосопряжен, то [img: http://localhost:8080/file/031602-565.jpg] также самосопряженный оператор; если [img: http://localhost:8080/file/031602-566.jpg] - нечетная функция, то [img: http://localhost:8080/file/031602-567.jpg] - также нечетная, и т. д. Непрерывность Ане всегда сохраняется при переходе к [img: http://localhost:8080/file/031602-568.jpg] для многих важных классов линейных операторов, напр, вполне непрерывных. Важными признаками непрерывности операторов, обратных к линейным, являются следующие. Пусть X- конечномерное векторное пространство с пек-рым базисом и [img: http://localhost:8080/file/031602-569.jpg] задается в этом базисе, матрицей [img: http://localhost:8080/file/031602-570.jpg]. Для существования [img: http://localhost:8080/file/031602-571.jpg] необходимо и достаточно, чтобы [img: http://localhost:8080/file/031602-572.jpg] (операторы Аи А -1 в этом случае автоматически непрерывны). Пусть Xи Y - банаховы пространства и A - линейный непрерывный оператор из Xв Y. 1) Если [img: http://localhost:8080/file/031602-573.jpg] существует и непрерывен. 2) Если [img: http://localhost:8080/file/031602-574.jpg] существует и непрерывен, причем [img: http://localhost:8080/file/031602-575.jpg] где ряд справа сходится по норме в пространстве [img: http://localhost:8080/file/031602-576.jpg] 3) Оператор [img: http://localhost:8080/file/031602-577.jpg] существует и непрерывен на всем Y тогда и только тогда, когда его сопряженный [img: http://localhost:8080/file/031602-578.jpg] имеет обратный, определенный и непрерывный на всем [img: http://localhost:8080/file/031602-579.jpg] При этом [img: http://localhost:8080/file/031602-580.jpg]. 4)Если оператор существует [img: http://localhost:8080/file/031602-581.jpg] и непрерывен и [img: http://localhost:8080/file/031602-582.jpg], то оператор [img: http://localhost:8080/file/031602-583.jpg] также существует и непрерывен, причем [img: http://localhost:8080/file/031602-584.jpg] Таким образом, множество обратимых операторов открыто в [img: http://localhost:8080/file/031602-585.jpg] в равномерной топологии этого пространства. 5) Теорема Банаха об изоморфизме: если Авзаимно однозначно отображает Xна Y, то О. о., к-рое существует, непрерывно. Эта теорема допускает обобщение: взаимно однозначное линейное непрерывное отображение совершенно полного пространства Xна отделимое бочечное пространство Y является топологич. изоморфизмом. Ряд утверждений о существовании и непрерывности оператора, обратного к линейному непрерывному, содержится в спектральной теории линейных операторов, действующих в гильбертовом пространстве. Так, если Асамосопряжен и [img: http://localhost:8080/file/031602-586.jpg] не действительно, то [img: http://localhost:8080/file/031602-587.jpg] существует и непрерывен.