Общее решение

системы обыкновенных дифференциальных уравнений п- гопорядка [img: http://localhost:8080/file/031603-88.jpg] в области G- гладкое по t и непрерывное по совокупности параметров n-параметрическое семейство вектор-функций [img: http://localhost:8080/file/031603-89.jpg] откуда при соответствующем выборе значений параметров получается любое решение системы, график к-рого проходит в области [img: http://localhost:8080/file/031603-90.jpg]; здесь [img: http://localhost:8080/file/031603-91.jpg] область, где выполнены условия теоремы существования и единственности для системы (1). (Иногда условливаются, что параметры могут принимать и значения [img: http://localhost:8080/file/031603-92.jpg].) Геометрически О. р. системы (1) в области Gпредставляет собой семейство непересекающихся интегральных кривых этой системы, полностью заметающих всю область. О. р. системы (1) в области Gпозволяет найти решение задачи Коши для этой системы с начальным условием [img: http://localhost:8080/file/031603-93.jpg] нужно из системы правенств [img: http://localhost:8080/file/031603-94.jpg] определить значения ппараметров С 1,..., С n и подставить эти значения в (2). Если [img: http://localhost:8080/file/031603-95.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031603-96.jpg] - решение системы (1), удовлетворяющее условию [img: http://localhost:8080/file/031603-97.jpg] то n-параметрическое семейство [img: http://localhost:8080/file/031603-98.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031603-99.jpg] - фиксированное число, а [img: http://localhost:8080/file/031603-100.jpg] рассматриваются как параметры, является О. р. системы (1) в нек-рой области [img: http://localhost:8080/file/031603-101.jpg] и наз. О. р. в форме Коши. Знание О. р. позволяет однозначно восстановить систему дифференциальных уравнений: для этого надо из псоотношений (2) и из псоотношений, получающихся дифференцированием соотношений (2) по t, исключить ппараметров [img: http://localhost:8080/file/031603-102.jpg] В случае обыкновенного дифференциального уравнения n-го порядка [img: http://localhost:8080/file/031603-103.jpg] О. р. в области Gимеет вид n-параметрического семейства функций [img: http://localhost:8080/file/031603-104.jpg] из к-рого при соответствующем выборе значений параметров получается решение уравнения (3) с любыми начальными условиями [img: http://localhost:8080/file/031603-105.jpg] здесь [img: http://localhost:8080/file/031603-106.jpg] - область, где выполнены условия теоремы существования и единственности для уравнения (3). Функция, получающаяся из О. р. при конкретных значениях параметров, наз. частным решением. Семейство функций, содержащее все решения данной системы (уравнения) в нек-рой области, не всегда удается выразить в виде явной функции независимой переменной. Это семейство может оказаться записанным в виде неявной функции - и тогда оно наз. общим интегралом- или в параметрич. виде. Если конкретное обыкновенное дифференциальное уравнение (3) допускает интегрирование в замкнутой форме (см. Интегрирование дифференциальных уравне ний в замкнутой форме), то часто удается получить соотношение типа (4), где параметры возникают как постоянные интегрирования и оказываются произвольными постоянными. (Именно поэтому часто говорят, что О. р. уравнения n-го порядка содержит га произвольных постоянных.) Однако такое соотношение далеко не всегда является О. р. во всей области существования и единственности решения задачи Коши для исходного уравнения.