Огибающая

семейства кривых на плоскости - кривая, к-рая в каждой точке касается одной из кривых семейства, причем касания вдоль О. переходит от одной кривой семейства к другой. Напр., для семейства окружностей одинакового радиуса с центрами на прямой О. состоит из двух параллельных прямых. Если С- параметр семейства, t- параметр вдоль О., С(t)- значение Сдля одной из кривых семейства, касающихся О. в точке с параметром t, то предполагается возможность выбора С(t)так, что функция С(t)ни на каком участке изменения tне постоянна. Для семейства кривых, заданного уравнением [img: http://localhost:8080/file/031604-12.jpg] необходимым признаком существования О. является выполнение при [img: http://localhost:8080/file/031604-13.jpg] условий [img: http://localhost:8080/file/031604-14.jpg] Система (1) служит для нахождения точек О., но (1) могут удовлетворять и другие особые точки. семейства. Достаточным признаком точек О. является [img: http://localhost:8080/file/031604-15.jpg] и выполнение, кроме (1), условия [img: http://localhost:8080/file/031604-16.jpg] Для семейства плоских кривых, заданных [img: http://localhost:8080/file/031604-17.jpg] -гладкой функцией [img: http://localhost:8080/file/031604-18.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031604-19.jpg] - параметр семейства, [img: http://localhost:8080/file/031604-20.jpg] - параметр вдоль его кривых, необходимым признаком точек О. является [img: http://localhost:8080/file/031604-21.jpg] или, что то же, [img: http://localhost:8080/file/031604-22.jpg] Достаточным признаком является [img: http://localhost:8080/file/031604-23.jpg] и выполнение, кроме (3), условия [img: http://localhost:8080/file/031604-24.jpg] Нарушение условий (2), (4) чаще всего связано с появлением на О. точки возврата. Для зависящего от одного параметра С семейства поверхностей в пространстве О. есть поверхность, к-рая в каждой ее точке с внутренними параметрами [img: http://localhost:8080/file/031604-25.jpg] касается поверхности семейства с параметром [img: http://localhost:8080/file/031604-26.jpg], причем функция [img: http://localhost:8080/file/031604-27.jpg] ни в какой области изменения [img: http://localhost:8080/file/031604-28.jpg] не постоянна. Напр., для сфер одинакового радиуса с центрами на прямой О. является цилиндром. Для семейства, заданного уравнением [img: http://localhost:8080/file/031604-29.jpg] необходимым признаком О. является система равенств [img: http://localhost:8080/file/031604-30.jpg] а достаточным: [img: http://localhost:8080/file/031604-31.jpg] и выполнение, кроме (5), условий [img: http://localhost:8080/file/031604-32.jpg] Для семейства [img: http://localhost:8080/file/031604-33.jpg] необходимым признаком О. служит равенство [img: http://localhost:8080/file/031604-34.jpg] а достаточным: [img: http://localhost:8080/file/031604-35.jpg] и выполнение, кроме (7), условий [img: http://localhost:8080/file/031604-36.jpg] С нарушением первых из условий (6), (8) чаще всего связано появление на О. ребра возврата. Линию касания О. с одной поверхностью семейства наз. характеристикой. Ребро возврата на О. в свою очередь обычно является О. характеристик. Для зависящего от двух параметров A, B семейства поверхностей в пространстве О. есть поверхность, касающаяся в каждой своей точке [img: http://localhost:8080/file/031604-37.jpg] поверхности семейства с параметрами [img: http://localhost:8080/file/031604-38.jpg] причем ни в какой области изменения [img: http://localhost:8080/file/031604-39.jpg] не существует такой функции [img: http://localhost:8080/file/031604-40.jpg] что [img: http://localhost:8080/file/031604-41.jpg] Для семейства, заданного уравнением [img: http://localhost:8080/file/031604-42.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031604-43.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/031604-44.jpg] необходимым признаком О. является система [img: http://localhost:8080/file/031604-45.jpg] а достаточным: [img: http://localhost:8080/file/031604-46.jpg] и выполнение, кроме (9), условий [img: http://localhost:8080/file/031604-47.jpg] Для семейства [img: http://localhost:8080/file/031604-48.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031604-49.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031604-50.jpg] необходимым признаком О. служит система [img: http://localhost:8080/file/031604-51.jpg] а достаточным: [img: http://localhost:8080/file/031604-52.jpg] и выполнение, кроме (10), условий [img: http://localhost:8080/file/031604-53.jpg] Более сложное понятие О. для зависящего от kпараметров семейства m-мерных подмногообразий в n-мерном многообразии вводится (см. [1]) на основе теории особенностей дифференцируемых отображений как специальный вид особенности семейства.