Ограниченный оператор

- отображение А топологического векторного пространства Xв топологическое векторное пространство Y такое, что (М)- ограниченное подмножество в Yдля любого ограниченного подмножества Мпространства X. Всякий оператор [img: http://localhost:8080/file/031604-196.jpg] непрерывный на X, является О. о. Если [img: http://localhost:8080/file/031604-197.jpg] - линейный оператор, то для ограниченности Адостаточно, чтобы существовала окрестность нуля [img: http://localhost:8080/file/031604-198.jpg] такая, что A(U)ограничено в Y. Пусть X,Y - векторные нормированные пространства и линейный оператор [img: http://localhost:8080/file/031604-199.jpg] ограничен. Тогда [img: http://localhost:8080/file/031604-200.jpg] Это число наз. нормой оператора Аиобозначается [img: http://localhost:8080/file/031604-201.jpg]. При этом [img: http://localhost:8080/file/031604-202.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031604-203.jpg] есть наименьшая из констант Стаких, что [img: http://localhost:8080/file/031604-204.jpg] для любого [img: http://localhost:8080/file/031604-205.jpg]. Обратно, выполнение этого неравенства означает, что Аограничен. Для линейных операторов, отображающих нормированное пространство Xв нормированное пространство У, понятия ограниченности и непрерывности эквивалентны. Для случая произвольных топологических векторных пространств Xи Y это не так, но если X - борнологическое, Y- локально выпуклое пространство, то из ограниченности линейного оператора [img: http://localhost:8080/file/031604-206.jpg] следует его непрерывность. Если Н- гильбертово пространство и [img: http://localhost:8080/file/031604-207.jpg] - ограниченный симметрич. оператор, то квадратичная форма <Ах, x> ограничена на единичном шаре [img: http://localhost:8080/file/031604-208.jpg]. Числа [img: http://localhost:8080/file/031604-209.jpg] наз. верхней и нижней границами оператора А. Точки [img: http://localhost:8080/file/031604-210.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031604-211.jpg] принадлежат спектру A, и весь спектр лежит на отрезке [img: http://localhost:8080/file/031604-212.jpg]. Примеры О. о.: оператор проектирования (проектор)на дополняемое подпространство банахова пространства и изометрический оператор, действующий в гильбертовом пространстве. Если пространства Xи Yнаделены структурой частично упорядоченного множества, напр, являются векторными решетками, то помимо рассмотренной выше топологич. ограниченности вводится понятие порядковой ограниченности оператора. Именно, оператор [img: http://localhost:8080/file/031604-213.jpg] паз. порядково ограниченным, если (М)есть порядково ограниченное множество пространства Yдля любого порядково ограниченного множества Мпространства X. Пример: изотонный оператор, т. е. такой оператор, что из [img: http://localhost:8080/file/031604-214.jpg] следует [img: http://localhost:8080/file/031604-215.jpg]