Однолистности условия

- необходимые и достаточные условия, при к-рых регулярная (или мероморфная) функция [img: http://localhost:8080/file/031604-368.jpg] однолистна в нек-рой области комплексной плоскости [img: http://localhost:8080/file/031604-369.jpg]. Необходимым и достаточным условием однолистности [img: http://localhost:8080/file/031604-370.jpg] в достаточно малой окрестности точки аявляется [img: http://localhost:8080/file/031604-371.jpg]. Такая (локальная) однолистность во всех точках области еще не гарантирует однолистности в области. Напр., функция [img: http://localhost:8080/file/031604-372.jpg] неоднолистна в круге [img: http://localhost:8080/file/031604-373.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/031604-374.jpg], хотя для нее выполняется условие локальной однолистности в каждой точке плоскости. Необходимым условием однолистности является всякое свойство однолистной функции, в частности всякое неравенство, к-рому удовлетворяет однолистная функция. Справедливы следующие необходимые и достаточные О. у. Теорема 1. Пусть функция f(z) в окрестности z=0 разлагается в ряд [img: http://localhost:8080/file/031604-375.jpg] и пусть [img: http://localhost:8080/file/031604-376.jpg] с постоянными коэффициентами [img: http://localhost:8080/file/031604-377.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031604-378.jpg]. Для того чтобы f(z) была регулярной и однолистной в [img: http://localhost:8080/file/031604-379.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031604-380.jpg] функцией, необходимо и достаточно, чтобы при всяком натуральном Nи для всяких х р, р=1,..., N, выполнялось неравенство Грунского [img: http://localhost:8080/file/031604-381.jpg] Аналогичные условия имеют место для класса е (В)(класс функций [img: http://localhost:8080/file/031604-382.jpg] мероморфных и однолистных в области [img: http://localhost:8080/file/031604-383.jpg]) (см. 12] с. 599-602, а также Площадей принцип). Теорема 2. Пусть граница lконечной области Dесть жорданова кривая. Для того чтобы регулярная в Dи непрерывная в замкнутой области [img: http://localhost:8080/file/031604-384.jpg] функция f(z) была однолистной в [img: http://localhost:8080/file/031604-385.jpg], необходимо и достаточно, чтобы f(z)взаимно однозначно отображала lна нек-рую замкнутую жорданову кривую. Необходимые и достаточные условия однолистного отображения на области выпуклые, звездообразные или спиралеобразные относительно начала для функции (1) в круге Есвязаны с теоремой 2 и записываются соответственно в виде [img: http://localhost:8080/file/031604-386.jpg] Многие достаточные О. у. описываются с помощью обыкновенных дифференциальных уравнений (теорема 3) и уравнений с частными производными (теорема 4). Теорема 3. Мероморфная в круге Ефункция f(z) будет однолистной в Е, если шварциан [img: http://localhost:8080/file/031604-387.jpg] подчиняется неравенству [img: http://localhost:8080/file/031604-388.jpg] причем мажоранта [img: http://localhost:8080/file/031604-389.jpg] является непрерывной неотрицательной функцией и удовлетворяет условиям: а) [img: http://localhost:8080/file/031604-390.jpg] не возрастает по r при [img: http://localhost:8080/file/031604-391.jpg], б) дифференциальное уравнение [img: http://localhost:8080/file/031604-392.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/031604-393.jpg] имеет решение [img: http://localhost:8080/file/031604-394.jpg] Частными случаями теоремы 3 являются условия однолистности Нехари - Покорного: [img: http://localhost:8080/file/031604-395.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031604-396.jpg] Теорема 4. Пусть f(z, t)есть функция, регулярная в круге Е, непрерывно дифференцируемая по t, [img: http://localhost:8080/file/031604-397.jpg] и удовлетворяющая уравнению Лёвнера - Куфарева [img: http://localhost:8080/file/031604-398.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031604-399.jpg] - функция, регулярная в Е, непрерывная по [img: http://localhost:8080/file/031604-400.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031604-401.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/031604-402.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031604-403.jpg] - конечная величина при [img: http://localhost:8080/file/031604-404.jpg] для каждого [img: http://localhost:8080/file/031604-405.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031604-406.jpg] - непостоянная регулярная функция в Ес разложением (1), то все функции [img: http://localhost:8080/file/031604-407.jpg] однолистны, в том числе однолистными являются функции [img: http://localhost:8080/file/031604-408.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031604-409.jpg]. Теорема 4 приводит к следующим конкретным О. у.: [img: http://localhost:8080/file/031604-410.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031604-411.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031604-412.jpg] - действительные постоянные, [img: http://localhost:8080/file/031604-413.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031604-414.jpg], [img: http://localhost:8080/file/031604-415.jpg] - регулярная функция, отображающая; круг Е на выпуклую область. Однолистность функции [img: http://localhost:8080/file/031604-416.jpg] равносильна однозначной разрешимости уравнения (2) относительно г. В таком понимании достаточные О. у. распространяются на широкий класс операторных уравнений. Для этих уравнений, в частности, обобщено условие [img: http://localhost:8080/file/031604-417.jpg] на класс действительных преобразований выпуклых и невыпуклых областей re-мерного евклидова пространства.