Однородное комплексное многообразие

- комплексное многообразие М, группа автоморфизмов к-рого транзитивно действует на М. Все односвязные одномерные комплексные многообразия - сфера Римана, комплексная плоскость и верхняя комплексная полуплоскость - однородны. Многообразие G/H смежных классов комплексной группы Ли Gпо замкнутой комплексной подгруппе Нявляетси О. к. м. Среди компактных О. к. м. выделяются комплексные флаговые многообразия, к числу к-рых относятся все компактные эрмитовы симметрические пространства[8]. Комплексные флаговые многообразия могут быть охарактеризованы как односвязные компактные однородные кэлеровы многообразия[4], а также как многообразия [img: http://localhost:8080/file/031604-498.jpg], Где G- полупростая комплексная группа Ли, U- ее параболич. подгруппа. Всякое компактное О. к. м. допускает однородное коломорфное расслоение над флаговым многообразием со слоем, изоморфным многообразию смежных классов комплексной группы Ли по дискретной подгруппе (см. Титса расслоение, а также [6], [9]). Другой важный класс О. к. м. составляют однородные ограниченные области (о. о. о.), к числу к-рых относятся, в частности, симметрич. области, двойственные компактным эрмитовым симметрич. пространствам. Флаговые многообразия и о. о. о. представляют собой частные случаи однородных кэлеровы х многообразий (т. е. кэлеровых многообразий, на к-рых транзитнвно действует группа аналитич. автоморфизмов, сохраняющих кэлерову метрику). Существует гипотеза [2], что всякое однородное кэлерово многообразие допускает однородное голоморфное расслоение, базой к-рого служит о. о. о., а слоем - прямое произведение флагового многообразия и многообразия смежных классов комплексного векторного пространства по дискретной подгруппе. Эта гипотеза доказана для однородных кэлеровых многообразий, допускающих полупростую [1] или вполне разрешимую [2] транзитивную группу автоморфизмов, а также для компактных однородных кэлеровых многообразий, которые, таким образом, изоморфны прямым произведениям флаговых многообразий и комплексных торов [10]. В теории О. к. м. важную роль играет каноническая эрмитова форма [img: http://localhost:8080/file/031604-499.jpg]. По любой гладкой мере (х на комплексном многообразии М, задаваемой внешней дифференциальной формой [img: http://localhost:8080/file/031604-500.jpg] может быть построена эрмитова дифференциальная форма [img: http://localhost:8080/file/031604-501.jpg] (вообще говоря, вырожденная), не зависящая от выбора системы координат и не меняющаяся при умножении меры m на константу. Если мера m определена стандартным образом по какой-либо кэлеровой метрике на М, то форма [img: http://localhost:8080/file/031604-502.jpg] совпадает с формой Риччи этой метрики [7]. Если потребовать, чтобы мера m. была инвариантна относительно какой-либо транзитивной группе автоморфизмов многообразия М, то она будет определена этой группой однозначно с точностью до умножения на константу, а форма [img: http://localhost:8080/file/031604-503.jpg] - вполне однозначно. В случае, когда М- о. о. о., определенная таким образом эрмитова форма [img: http://localhost:8080/file/031604-504.jpg] положительно определена и совпадает с метрикой Бергмана. Для флаговых многообразий форма hm отрицательно определена. Канонпч. эрмитова форма О. к. м. может быть вычислена в терминах соответствующей алгебры Ли [3]. Это служит основой для алгебраизации теории о. о. о. и других О. к. м. Одно из направлений в теории О. к. м. состоит в изучении голоморфных функций на них при помощи аппарата линейных представлений групп Ли. Напр. этим способом доказано [5], что многообразие G/H смежных классов полупростой комплексной группы Ли Gпо связной замкнутой комплексной подгруппе Нявляется многообразием Штейна тогда и только тогда, когда подгруппа Нредуктивна. Существуют О. к. м., не допускающие транзитивной группы Ли автоморфизмов [11].