Односторонние и двусторонние поверхности

- два тина поверхностей, различающихся по способу их расположения в объемлющем пространстве (одностороннее расположение и двустороннее расположение). Напр., цилиндр представляет собой двустороннюю поверхность (д. п.), а Мёбиуса лист- одностороннюю поверхность (о. п.). Характерное отличие этих поверхностей - граница цилиндра состоит из двух кривых, а граница листа Мёбиуса из одной кривой. Среди замкнутых поверхностей двусторонней является сфера и тор, а односторонней - Клейна поверхность. Примерами двустороннего и одностороннего расположения кривой могут служить вложения окружности в лист Мёбиуса. Так, цикл [img: http://localhost:8080/file/031605-68.jpg] (см. рис.) является односторонней кривой, а цикл [img: http://localhost:8080/file/031605-70.jpg] - двусторонней (и вообще, любой дезориентирующий путь лежит в поверхности односторонне). [img: http://localhost:8080/file/031605-69.jpg] Более точно О. и д. п.- два типа многообразий, различающихся способом вложения их в объемлющее пространство (на единицу большей размерности). Дву-сторонность и односторонность связаны с ориентируемостью и неориентируемостью (см. Ориентация), но в отличие от последних не являются внутренними свойствами поверхности и зависят от объемлющего пространства. Так, напр., существуют ориентируемые д. п.: [img: http://localhost:8080/file/031605-71.jpg]; неориентируемые д. п.: [img: http://localhost:8080/file/031605-72.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031605-73.jpg]; ориентируемые о. п.: [img: http://localhost:8080/file/031605-74.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031605-75.jpg]; неориентируемые о. п.: [img: http://localhost:8080/file/031605-76.jpg] (здесь [img: http://localhost:8080/file/031605-77.jpg] - сфера, [img: http://localhost:8080/file/031605-78.jpg] - тор, [img: http://localhost:8080/file/031605-79.jpg] - проективная плоскость, [img: http://localhost:8080/file/031605-80.jpg] - проективное пространство, [img: http://localhost:8080/file/031605-81.jpg] - дезориентирующий путь на [img: http://localhost:8080/file/031605-82.jpg]). В ориентируемом пространстве (напр., в Rn) гиперповерхность является ориентируемой в том и только в том случае, когда она является д. п. Пусть вдоль замкнутой кривой на гладкой поверхности, погруженной в нек-рое пространство, обносится нормальный вектор так, чтобы он оставался нормальным. Если при возвращении в исходную точку направление нормали совпадает с исходным независимо от выбора кривой, то поверхность наз. двусторонней; в противном случае (когда нормаль окажется противонаправленной исходной) - односторонней. Более общо, двусторонность расположения поверхности П равносильна тривиальности ее нормального расслоения (в таком расслоении существует ненулевое сечение). Наоборот, нормальное расслоение о. п. нетривиально: существует кривая на П, над к-рой расслоение является листом Мёбиуса. Локально всякая (гипер)поверхность [img: http://localhost:8080/file/031605-83.jpg] в пространстве Nn. разбивает его на две части, т. е. для точки [img: http://localhost:8080/file/031605-84.jpg] имеется такая окрестность [img: http://localhost:8080/file/031605-85.jpg], что Uсостоит из двух компонент [img: http://localhost:8080/file/031605-86.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031605-87.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031605-88.jpg] принадлежит их общей границе. С другой стороны, достаточно тесная окрестность [img: http://localhost:8080/file/031605-89.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/031605-90.jpg] (если Мзамкнуто в N). имеет либо одну, либо две компоненты, границы к-рых содержат М. В первом случае (гипер) поверхность [img: http://localhost:8080/file/031605-91.jpg] также наз. односторонней, а во втором - двусторонней. Таким образом, хотя поверхность локально и имеет две стороны, глобально она может быть о. п. и в противоположность д. п. не разбивать свою окрестность в пространстве. Для д. п. [img: http://localhost:8080/file/031605-92.jpg], лежащей в [img: http://localhost:8080/file/031605-93.jpg], пересечения индекс в N n + 1 для любой замкнутой кривой [img: http://localhost:8080/file/031605-94.jpg] на [img: http://localhost:8080/file/031605-95.jpg] удовлетворяет равенству [img: http://localhost:8080/file/031605-96.jpg] Если же [img: http://localhost:8080/file/031605-97.jpg] - о. п., то [img: http://localhost:8080/file/031605-98.jpg] для нек-рой кривой [img: http://localhost:8080/file/031605-99.jpg]. Этот факт также можно принять за определение одно- и двусторонности (наряду с обносом нормального вектора и разбиением окрестности).