Оператор

- отображение одного множества на другое, каждое из к-рых наделено нек-рой структурой (алгебраич. операциями, топологией, отношением порядка). Общее определение О. совпадает с определением отображения или функции: пусть Xи Y - два множества; оператором Аиз множества Xво множество Yназ. правило или соответствие, к-рое каждому элементу хиз нек-рого подмножества [img: http://localhost:8080/file/041601-89.jpg] сопоставляет однозначно определенный элемент [img: http://localhost:8080/file/041601-90.jpg]; множество Dназ. областью определения оператора A и обозначается D (А);множество {(х), [img: http://localhost:8080/file/041601-91.jpg] } наз. областью значений оператора A и обозначается R(A). Часто пишут Ах вместо (х). Термин "О." используется чаще всего в случае, когда Xи Y - векторные пространства. Если A - оператор из Xв Y, где Y=Х, то Аназ. оператором в X. Если D(A)=X, то Аназ. всюду определенным оператором. Если A1, Aa- операторы из X1 в Y1 н из Х 2 в Y2 с областями определения D(A1).и D(A2) соответственно и такие, что [img: http://localhost:8080/file/041602-1.jpg] i и A1x=A2x при всех [img: http://localhost:8080/file/041602-2.jpg], то при X1= Х 2, Y1= Y2 оператор А 1 называется суженнем, или ограничением, оператора А 2, а оператор A2 - расширением оператора A1; при [img: http://localhost:8080/file/041602-3.jpg], А 2 называется расширением оператора A1 с выходом из Х 1. Многие уравнения в функциональных или абстрактных пространствах можно представить в виде Ах-у, где [img: http://localhost:8080/file/041602-4.jpg], [img: http://localhost:8080/file/041602-5.jpg], у - задан, х - неизвестен, А - оператор из Xв Y. Утверждение о существовании решения такого уравнения при любой правой части [img: http://localhost:8080/file/041602-6.jpg] равносильно утверждению, что область значении оператора Аесть все пространство Y; утверждение, что уравнение (х)=у имеет при любом [img: http://localhost:8080/file/041602-7.jpg] единственное решение, означает, что Авзаимно однозначно отображает D(А).на R(А). Если Xи Y - векторные пространства, то в множестве всех О. из Xв Y можно выделить класс линейных операторов;остальные О. из Xв Y наз. нелинейными операторами. Если Xи Y - топологические векторные пространства, то в множестве 0. из X в Y естественно выделяется класс непрерывных операторов, а также класс ограниченных линейных операторов A (таких операторов А, что образ любого ограниченного множества в Xограничен в У) и класс линейных компактных операторов (т. е. таких О., что образ любого ограниченного множества в Xпредкомпактен в Y). Если X и Y - локально выпуклые пространства, то в Xи Y естественно рассматривать различные тоцологии; О. наз. полунепрерывным, если он определяет непрерывное отображение пространства X(в исходной топологии) в пространство Y в слабой топологии (понятие полунепрерывности используется главным образом в теории нелинейных О.); О. наз. усиленно непрерывным, если он непрерывен как отображение пространства Xв ограниченно слабой топологии в пространство У; О. наз. слабо непрерывным, если он определяет непрерывное отображение X в Y, где X и Y наделены слабой топологией. Часто компактные О. наз. вполне непрерывными. Иногда термин "вполне непрерывный О." используется вместо термина "усиленно непрерывный О." или для обозначения О., переводящего любую слабо сходящуюся последовательность в сильно сходящуюся; если Xи Y - рефлексивные банаховы пространства, то эти условия эквивалентны компактности О. Если О. усиленно Непрерывен или компактен, то он непрерывен; если О. непрерывен, то он слабо непрерывен. Графиком оператора Аназ. множество [img: http://localhost:8080/file/041602-8.jpg], определенное соотношением [img: http://localhost:8080/file/041602-9.jpg] Пусть X и Y - топологические векторные пространства; оператор Аиз Xв Y наз. замкнутым оператором, если его график замкнут. Понятие замкнутого О. особенно плодотворно в случае линейных О. с плотной областью определения. Понятие графика позволяет обобщить понятие О.: многозначным оператором из X в Y наз. любое подмножество Ав X x Y; если X и Y - векторные пространства, то многозначным линейным О. наз. линейное подпространство X x Y; областью определения многозначного О. наз. множество D(А) = {х [img: http://localhost:8080/file/041602-10.jpg] X:существует [img: http://localhost:8080/file/041602-11.jpg] такой, что {х, у} [img: http://localhost:8080/file/041602-12.jpg] А}. Если X - векторное пространство над полем kи Y=k, то всюду определенный О. из Xв kназ. функционалом на X. Если Х и Y - локально выпуклые пространства, то оператор A из X в Y с плотной в X областью определения имеет сопряженный оператор А* с плотной в Y* в ослабленной топологии областью определения тогда и только тогда, когда А - замкнутый О. Примеры операторов. 1) О., сопоставляющий любому элементу [img: http://localhost:8080/file/041602-13.jpg] элемент [img: http://localhost:8080/file/041602-14.jpg] (нулевой оператор). 2) О., сопоставляющий любому элементу [img: http://localhost:8080/file/041602-15.jpg] этот же элемент [img: http://localhost:8080/file/041602-16.jpg] (единичный оператор в Xобозначается idX или 1X). 3) Пусть X - векторное пространство функции на нек-ром множестве М и f - функция на М; О. в X с областью определения [img: http://localhost:8080/file/041602-17.jpg] действующий по правилу Aj=fj при [img: http://localhost:8080/file/041602-18.jpg] (А), наз. оператором умножения на функцию; А - линейный О. 4) Пусть X - векторное пространство функций на множестве Ми F - отображение множества Мв себя; О. в X с областью определения [img: http://localhost:8080/file/041602-19.jpg] действующий но правилу [img: http://localhost:8080/file/041602-20.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/041602-21.jpg] (А), будет линейным О. 5) Пусть X, У - векторные пространства действительных измеримых функций на пространствах с мерой (М,SM, m) и (N,SN n) соответственно, К-функция на Mx Nx [img: http://localhost:8080/file/041602-22.jpg], измеримая относительно произведения мер m x n x m0> где m0- мера Лебега на [img: http://localhost:8080/file/041602-23.jpg], и непрерывная по [img: http://localhost:8080/file/041602-24.jpg] при любых фиксированных [img: http://localhost:8080/file/041602-25.jpg], [img: http://localhost:8080/file/041602-26.jpg]; О. из Xв Y с областью определения [img: http://localhost:8080/file/041602-27.jpg] существующий для почти всех [img: http://localhost:8080/file/041602-28.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041602-29.jpg], действующий по правилу Aj=f при [img: http://localhost:8080/file/041602-30.jpg], наз. интегральным оператором; если [img: http://localhost:8080/file/041602-31.jpg] то Алинейный О. 6) Пусть X - векторное пространство функций на дифференцируемом многообразии М,x - векторное ноле на М;оператор Ав X с областью определения D(А) = { [img: http://localhost:8080/file/041602-32.jpg]:. производная Dxf функции f вдоль поля x определена всюду и Dxf [img: http://localhost:8080/file/041602-33.jpg] X}, действующий по правилу Af=Dxf при [img: http://localhost:8080/file/041602-34.jpg], наз. оператором дифференцирования; A - линейный О. 7) Пусть X - векторное пространство функций на множестве М;всюду определенный О., сопоставляющий функции [img: http://localhost:8080/file/041602-35.jpg] значение этой функции в точке [img: http://localhost:8080/file/041602-36.jpg], есть линейным функционал на X; он наз. d-функцией в точке а и обозначается da 8) Пусть G - коммутативная локально компактная группа, [img: http://localhost:8080/file/041602-37.jpg] - группа характеров группы G; dg, [img: http://localhost:8080/file/041602-38.jpg] - меры Хаара на G, [img: http://localhost:8080/file/041602-39.jpg] соответственно; пусть [img: http://localhost:8080/file/041602-40.jpg] линейный оператор Аиз X в Y, сопоставляющий функции [img: http://localhost:8080/file/041602-41.jpg] функцию [img: http://localhost:8080/file/041602-42.jpg], определяемую формулой [img: http://localhost:8080/file/041602-43.jpg] всюду определен, если сходимость интеграла понимается как сходимость в среднем. Если Xи Y - топологические векторные пространства, то О. в примерах 1) и 2) непрерывны; если в примере 3) пространство Xесть L2(M,SM, m), где m - мера на X, то О. умножения на ограниченную измеримую функцию замкнут и имеет плотную область определения; если в примере 5) пространство X=Y есть гильбертово пространство L2(M,SM, m) и К(х, у,z) =K(x,y)z, где К(х, у).принадлежит L2(Mx M,SM x SM, m x m), то Акомпактен; если в примере 8) пространства X и Y рассматриваются как гильбертовы пространства, то Анепрерывен. Если A - О. из Xв Y такой, что [img: http://localhost:8080/file/041602-44.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/041602-45.jpg], [img: http://localhost:8080/file/041602-46.jpg], то можно определить обратный оператор А -1 к А;вопрос о существовании обратного О. и его свойствах связан с теоремой существования и единственности решения уравнения Ax=f;если А -1 существует, то x=A-1f при [img: http://localhost:8080/file/041602-47.jpg] Для О. в векторных пространствах можно определить сумму, произведение на число и произведение О. Если А, В- операторы из Xв Y с областями определения D(А).и D(В).соответственно, то суммой операторов Аи Вназ. О., обозначаемый А+В, с областью определения [img: http://localhost:8080/file/041602-48.jpg] действующий по правилу (А + В)x=Ах + Вх при [img: http://localhost:8080/file/041602-49.jpg]. Произведением оператора A нa число lназ. О., обозначаемый lA, с областью определения D(lA) = D(A), действующей по правилу (lА) х=l(Ах) при [img: http://localhost:8080/file/041602-50.jpg]. Произведение операторов определяется как композиция отображений: если Аоператор из X в Y, В - оператор из Y в Z, то произведением В к А наз. оператор ВА с областью определения [img: http://localhost:8080/file/041602-51.jpg] действующий по правилу (ВА) х = В(Ах) при [img: http://localhost:8080/file/041602-52.jpg] Если Р - всюду определенный О. в X такой, что РР=Р, то Рназ. проектором в Х; если I - всюду определенный О. в X такой, что II=idX, то I наз. инволюцией в Х. Теория О. составляет важнейшую часть линейного и нелинейного функционального анализа, являясь, в частности, основным аппаратом теории динамич. систем, представлений групп и алгебр и важнейшим матё-матич. инструментом математич. физики и квантовой механики.