Операторная топология

топология в пространстве L(E, F).непрерывных линейных отображений одного топологического векторного пространства Ев другое топологии, пространство F, превращающая пространство L(E, F).в топологическое векторное пространство. Пусть F - локально выпуклое пространство и [img: http://localhost:8080/file/041602-71.jpg] - такое семейство ограниченных подмножеств пространства Е, что линейная оболочка объединения множеств этого семейства плотна в Е;пусть [img: http://localhost:8080/file/041602-72.jpg] - базис окрестностей нуля в F. Семейство [img: http://localhost:8080/file/041602-73.jpg] где Sпробегает [img: http://localhost:8080/file/041602-74.jpg], а Vпробегает [img: http://localhost:8080/file/041602-75.jpg], является базисом окрестностей нуля для единственной инвариантной относительно сдвигов топологии, к-рая является О. т. и превращает пространство L(E, F). в локально выпуклое пространство; эта топология наз. [img: http://localhost:8080/file/041602-76.jpg] -топологией на L(Е, F). Примеры. Г. Пусть Е, F - локально выпуклые пространства; 1) пусть [img: http://localhost:8080/file/041602-77.jpg] - семейство всех коночных подмножеств в Е, соответствующая [img: http://localhost:8080/file/041602-78.jpg] -топология (в L(Е, F)).наз. топологией простой (или поточечной) сходимости; 2) пусть [img: http://localhost:8080/file/041602-79.jpg] - семейство всех выпуклых закругленных компактных подмножеств Е, соответствующая топология наз. топ о-логией выпуклой закругленной компактной сходимости; 3) пусть [img: http://localhost:8080/file/041602-80.jpg] - семейство всех предкомпактных подмножеств Е, соответствующая [img: http://localhost:8080/file/041602-81.jpg] -топология наз. топологией предкомпактной сходимости; 4) пусть [img: http://localhost:8080/file/041602-82.jpg] - семейство всех ограниченных подмножеств, соответствующая топология наз. топологией ограниченной сходимости. II. Если Е, F - банаховы пространства, рассматриваемые одновременно в слабой или сильной (нормированной) топологии, то соответствующие пространства L(E, F).алгебраически совпадают; соответствующие топологии простой сходимости наз. слабой и сильной О. т. в L(E, F). Сильная О. т. мажорирует слабую О. т.; обе они согласуются с двойственностью между L(E,F).и пространством функционалов на L(E, F).вида [img: http://localhost:8080/file/041602-83.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/041602-84.jpg], A [img: http://localhost:8080/file/041602-85.jpg] L(E, F). III. Пусть Е, F - гильбертовы пространства и [img: http://localhost:8080/file/041602-86.jpg], [img: http://localhost:8080/file/041602-87.jpg] - счетные прямые суммы гильбертовых пространств Е n, Fn соответственно, где Е п=Е, Fn=F для всех натуральных n; пусть y - вложение пространства L(E, F).в [img: http://localhost:8080/file/041602-88.jpg], определенное условием: для любого оператора [img: http://localhost:8080/file/041602-89.jpg] ограничение оператора y(А).на подпространство ЕД переводит Е п в Fn и совпадает на Е п с оператором А. Тогда полный, прообраз в L(E, F).слабой (сильной) О. т. в [img: http://localhost:8080/file/041602-90.jpg] наз. ультраслабой (соответственно ультрасильной) О. т. в L(E, F). Ультраслабая (ультрасильная) топология мажорирует слабую (сильную) О. т. Симметричная подалгебра [img: http://localhost:8080/file/041602-91.jpg] алгебры L(E).всех ограниченных линейных операторов в гильбертовом пространстве Е, содержащая единичный оператор, тогда и только тогда совпадает с множеством всех операторов из L(E), перестановочных с каждым оператором из L(E), перестановочным со всеми операторами из [img: http://localhost:8080/file/041602-92.jpg], когда [img: http://localhost:8080/file/041602-93.jpg] замкнута в слабой (или сильной, или ультраслабой, или ультрасильной) О. т., то есть является Неймана алгеброй.