Операторная эргодическая теорема

общее название теорем о пределе средних по неограниченно удлиняющемуся "промежутку времени" п=0, 1,...,N или [img: http://localhost:8080/file/041602-94.jpg] для степеней {А п} линейного оператора А, действующего в банаховом (или даже топологическом векторном, см. [5]) пространстве Е, либо для действующей в Еоднопараметрич. полугруппы линейных операторов {At}. В последнем случае можно рассматривать также предел средних по неограниченно уменьшающемуся промежутку времени (локальные эргодические теоремы, см. [5], [6]; говорят также об "эргодичности в нуле", см. [1]). Средние могут пониматься в различных смыслах, аналогично тому, как это делается в теории суммирования рядов. Чаще всего используются средние Чезаро [img: http://localhost:8080/file/041602-95.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041602-96.jpg] или средние Абеля [img: http://localhost:8080/file/041602-97.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/041602-98.jpg] Условия эргодич. теорем заведомо обеспечивают сходимость подобных бесконечных рядов или интегралов; при этом, хотя абелевы средние образуются с участием всех А n или At, главную роль играют значения А n или At на конечном отрезке времени, неограниченно возрастающем при [img: http://localhost:8080/file/041602-99.jpg]. Предел средних [img: http://localhost:8080/file/041602-100.jpg] и т. д.) тоже может пониматься в различных смыслах - в сильной или слабой операторной топологии (статистические эргодические теоремы, т. е. Неймана теорема эргодическая - исторически первая О. э. т.- и ее обобщения), в равномерной операторной топологии (равномерные эргодические теоремы, см. [1], [2], [3]), а если Ереализовано как нек-рое пространство функций на нек-ром пространстве с мерой, то и в смысле сходимости почти всюду средних [img: http://localhost:8080/file/041602-101.jpg] и т. п. при [img: http://localhost:8080/file/041602-102.jpg] (индивидуальные эргодические теоремы, т. е. Биркгофа эргодическая теорема и ее обобщения, см., напр., Орнстейна-Чекона эргодическая теорема;их, впрочем, не всегда относят к О. э. т.). Нек-рые из О. э. т. как бы сравнивают силу различных упомянутых выше вариантов, устанавливая, что из существования пределов средних в одном смысле следует существование пределов в другом смысле. В нек-рых теоремах речь идет не о пределе средних, а о пределе отношения двух средних (такова теорема Орнстейна - Чекона). Имеются также О. э. т. для n-параметрических и даже более общих полугрупп.