Операционное исчисление

один из методов математич. анализа, позволяющий в ряде случаев сводить исследование дифференциальных операторов, псевдодифференциалъных операторов и нек-рых типов интегральных операторов и решение уравнений, содержащих эти операторы, к рассмотрению более простых алгебраич. задач. Развитие и систематич. применение О. и. началось с работ О. Хевисайда (О. Heaviside, 1892), к-рый предложил формальные правила обращения с оператором дифференцирования [img: http://localhost:8080/file/041602-108.jpg] и решил ряд прикладных задач. Однако О. и. не получило у него математич. обоснования: оно было дано с помощью Лапласа преобразования;Я. Микусиньский (J. Mikusinski, 1953) алгебраизировал О. и., опираясь на понятие функционального кольца; наиболее общая концепция О. и. получается с помощью обобщенных функций. Простейший вариант О. и. строится следующим образом. Пусть К - совокупность функций (с действительными или комплексными значениями), заданных в области [img: http://localhost:8080/file/041602-109.jpg] и абсолютно интегрируемых в любом конечном интервале. Сверткой функций [img: http://localhost:8080/file/041602-110.jpg] наз. интеграл [img: http://localhost:8080/file/041602-111.jpg] Относительно обычного сложения и операции свертки Кстановится кольцом без делителей нуля (теорема Титчмарша, 1924). Элементы поля частных Рэтого кольца наз. операторами и обозначаются [img: http://localhost:8080/file/041602-112.jpg]; невыполнимость деления в Ккак раз и есть источник нового понятия оператора, обобщающего понятие функции. Для выявления необходимого в О. и. различия между понятиями функции и ее значения в точке введены следующие обозначения: {f(t)} - функция f(t). f(t) - значение t (t).в точке t. Примеры операторов. 1) е={1} -оператор интегрирования: [img: http://localhost:8080/file/041602-113.jpg] при этом и, в частности, [img: http://localhost:8080/file/041602-114.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041602-115.jpg] это - формула Коши, обобщение к-рой на случай произвольного (нецелого) показателя служит для определения дробного интегрирования. 2). [img: http://localhost:8080/file/041602-116.jpg] (где a - функция-константа) -числовой оператор; поскольку [а] [b] = [a, b], [a] {f}={af}, в то время как {a}{b}={abt}, то числовые операторы ведут себя как обычные числа. Таким образом, оператор является обобщением не только функции, но и числа; единицей кольца Кявляется [ 1 ]. 3) [img: http://localhost:8080/file/041602-117.jpg] - оператор дифференцирования, обратный оператору интегрирования. Так, если функция a(t)--{a(t)}имеет производную a'(t), то [img: http://localhost:8080/file/041602-118.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041602-119.jpg] отсюда, напр., [img: http://localhost:8080/file/041602-120.jpg] На оператор дифференцирования s можно умножать не только дифференцируемые функции, однако результат есть уже, вообще говоря, оператор. 4) [img: http://localhost:8080/file/041602-121.jpg] - алгебраическая производная, она распространяется на произвольные операторы обычным способом, при этом оказывается, что действие этого оператора на функции от sсовпадают с дифференцированием по s. О. и. дает удобные способы решения линейных дифференциальных уравнений как обыкновенных, так и с частными [img: http://localhost:8080/file/041602-122.jpg] производными. Напр., решение уравнения удовлетворяющее начальным условиям х(0).g0,..., [img: http://localhost:8080/file/041602-123.jpg] автоматически приводится к алгебраич. уравнению и символически выражается формулой [img: http://localhost:8080/file/041602-124.jpg] решение в обычном виде получается разложением на элементарные дроби от переменной s с последующим обратным переходом по соответствующим таблицам к функциям. Для применения О. и. к уравнениям с частными производными (а также к более общим псевдодифференциальным уравнениям) строятся дифференциальное и интегральное исчисления операторных функций, т. е. функций, значениями к-рых являются операторы: вводятся понятия непрерывности, производной, сходимости ряда, интеграла и т. Пусть f(l, t) - нек-рая функция, определенная для [img: http://localhost:8080/file/041602-125.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041602-126.jpg].Параметрическая операторная функция f(l) определяется формулой f(l)={f(l, t)};она ставит в соответствие рассматриваемым значениям l операторы частного вида - функции от t. Операторная функция наз. непрерывной при [img: http://localhost:8080/file/041602-127.jpg], если она представима как произведение нек-рого оператора qи такой параметрич. функции f1(l)={f1(l, t)}, что f1(l, t).непрерывна в обычном смысле. Примеры. 1) С помощью параметрич. функции h(l)={h(l,t)}: [img: http://localhost:8080/file/041602-128.jpg] определяется функция Хевисайда [img: http://localhost:8080/file/041602-129.jpg] значения гиперболической показательной функции [img: http://localhost:8080/file/041602-130.jpg] наз. операторами сдвига, поскольку умножение данной функции на [img: http://localhost:8080/file/041602-131.jpg] вызывает смещение ее графика на длину l в положительном направлении оси t. 2) Решение уравнения теплопроводности [img: http://localhost:8080/file/041602-132.jpg] выражается через параболическую показательную функцию (являющуюся также параметрической операторной функцией): [img: http://localhost:8080/file/041602-133.jpg] 3) Периодич. функция f(t).с периодом 2l0 имеет представление [img: http://localhost:8080/file/041602-134.jpg] 4) Если f(l) принимает числовые значения в интервале [l1, l2], то [img: http://localhost:8080/file/041602-135.jpg] т. е. умножение данной функции {/} на [img: http://localhost:8080/file/041602-136.jpg] с последующим интегрированием вызывает усечение ее графика. В частности, [img: http://localhost:8080/file/041602-137.jpg] таким образом, каждой функции f(t), для к-рой рассматриваемый интеграл сходится, ставится в соответствие аналитич. ция [img: http://localhost:8080/file/041602-138.jpg] - ее преобразование Лапласа. Благодаря этому обстоятельству довольно обширный класс операторов описывается функциями одного параметра s, более того, это формальное сходство уточняется математически установлением определенного изоморфизма. Имеются различные обобщения О. и.; таково О. и. дифференциальных операторов, отличных от [img: http://localhost:8080/file/041602-139.jpg], напр. [img: http://localhost:8080/file/041602-140.jpg], к-рое основывается на функциональных кольцах с надлежащим образом определенным произведением.