Оптимальное управление программное

- решение задачи оптимального управления математической теории, в к-рой управляющее воздействие u=u(t).формируется в виде функции времени (тем самым предполагается, что по ходу процесса никакой информации, кроме заданной в самом начале, в систему не поступает). Таким образом, О. у. п. формируется по априорным сведениям о системе и уже не может быть скорректировано, в отличие от оптимального управления позиционного. Проблема существования решений задачи О. у. п. разбивается на два вопроса: выяснение осуществимости цели управления при заданных ограничениях (существование допустимого управления, реализующего цель управления) и установление разрешимости экстремальной задачи - достижимость экстремума (как правило, относительного) - в упомянутом выше классе допустимых управлений (существование оптимального управления). В связи с первым вопросом весьма важно изучение свойства управляемости системы. Для системы [img: http://localhost:8080/file/041604-63.jpg] оно означает существование в заданном классе U= [img: http://localhost:8080/file/041604-64.jpg] функций, допускаемых к рассмотрению, управлений u(t), переводящих фазовую точку (см. Понтрягина принцип максимума).из любого заданного начального положения [img: http://localhost:8080/file/041604-65.jpg] в любое заданное конечное положение [img: http://localhost:8080/file/041604-66.jpg] (за фиксированное или свободное время T=t1-t0, в зависимости от постановки задачи). Необходимые и достаточные условия управляемости (или, как еще принято говорить, полной управляемости) известны в конструктивной форме для линейных систем [img: http://localhost:8080/file/041604-67.jpg] (1) с аналитическими или периодич. коэффициентами (они наиболее просты при [img: http://localhost:8080/file/041604-68.jpg], [img: http://localhost:8080/file/041604-69.jpg]). Для линейных систем общего вида полностью решается и вопрос о разрешимости задачи попадания с, одного выпуклого множества на другое (при выпуклых ограничениях на и, х). В нелинейном случае известны лишь локальные условия управляемости (справедливые в малой окрестности заданного движения) или условия для частных классов систем (см. [2], [4], [5]). Свойство управляемости изучают и в рамках многочисленных обобщений, связанных, в частности, с рассмотрением специальных классов U(напр., множества Uвсех ограниченных кусочно непрерывных управлений u(t)), задач управляемости по части координат или изучением более общих классов систем, в том числе бесконечномерных. Вопрос о существовании оптимального управления в общем случае связан со свойством компактности в той или иной топологии минимизирующих последовательностей управлений или траекторий и свойством полунепрерывности по соответствующим переменным минимизируемых функционалов. Первое из этих свойств тесно связано для системы [img: http://localhost:8080/file/041604-70.jpg] (2) при ограничениях [img: http://localhost:8080/file/041604-71.jpg] (3) с выпуклостью множества [img: http://localhost:8080/file/041604-72.jpg] а второе (для интегральных функционалов) - с выпуклостью по соответствующим переменным J([img: http://localhost:8080/file/041604-73.jpg], [img: http://localhost:8080/file/041604-74.jpg]). Отсутствие этих свойств возмещают путем расширения исходных вариационных задач. Так, невыпуклость J(t, х, и).можно возместить путем введения скользящих режимов -обобщенных решений обыкновенных дифференциальных уравнений, порожденных управлениями-мерами, заданными на Uи создающими эффект "овыпукления" (см. [6], [7]). Отсутствие выпуклости у интегральных функционалов [img: http://localhost:8080/file/041605-1.jpg] возмещают путем погружения задачи в более общую, с новым функционалом, являющимся выпуклой минорантой прежнего, и решения новой задачи в более широком классе управлений (см. [8]). В отмеченных случаях существование оптимального управления часто вытекает из существования допустимого управления. Теория необходимых условий экстремума наиболее развита в задачах О. у. п. Основополагающим результатом здесь послужил принцип максимума Понтрягина, содержащий необходимые условия сильного экстремума в задаче оптимального управления. Следует отметить создание общих приемов получения необходимых условий в экстремальных задачах, эффективно использованных для задач О. у. п. с более сложными ограничениями (фазовыми, функциональными, минимаксными, смешанными и т. д.) и основанных, так или иначе, на теоремах об отделимости выпуклых конусов (см. [9], [10]). Пусть, напр., Е - векторное пространство, f(x), [img: http://localhost:8080/file/041605-2.jpg],- заданный функционал, [img: http://localhost:8080/file/041605-3.jpg] - множества из Е, [img: http://localhost:8080/file/041605-4.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041605-5.jpg] -точка, в к-рой f(x).достигает минимума на [img: http://localhost:8080/file/041605-6.jpg], [img: http://localhost:8080/file/041605-7.jpg] Суть распространенного общего метода состоит в том, что каждое из множеств [img: http://localhost:8080/file/041605-8.jpg], i=0,1,...,n, аппроксимируется в окрестности точки х 0 нек-рым выпуклым конусом Кi с вершиной в точке х 0 (конус "убывания" для [img: http://localhost:8080/file/041605-9.jpg]; конус "допустимых направлений" для ограничении, изображаемых неравенствами; конус "касательных направлений" для ограничений типа равенства, в том числе для дифференциальных связей, и т. д.). Необходимое условие минимума теперь состоит в том, чтобы х 0 была единственной точкой, общей для всех Ki, i=0,1,..., п, и, следовательно, чтобы конусы были "отделимы" (см. [8]). Последнему "геометрическому" условию далее придают аналитич. орму и но возможности преобразуют к удобному виду, напр. при помощи функции Гамильтона. В зависимости от исходных ограничений, а также от класса используемых вариаций, необходимые условия могут принимать как форму, аналогичную принципу Понтрягина, так и форму локального (линеаризованного) принципа максимума (условия слабого экстремума по и). Реализация отмеченного пути, таким образом, зависит от возможности аналитически описывать конусы Ki. Эффективное их описание достигается для множеств [img: http://localhost:8080/file/041605-10.jpg], задаваемых гладкими функциями, удовлетворяющими нек-рым дополнительным условиям регулярности в рассматриваемой точке, или выпуклыми функциями (см. [9], [10]). В принципе отмеченный путь допускает обобщения и на случай негладких ограничений, в том числе дифференциальных. Здесь, напр., может быть использовано понятие субдифференциала выпуклой функции или его обобщения, когда выпуклость отсутствует (см. [11], [12]). Условия 1-го порядка, аналогичные принципу Понтрягина, известны для решений в классе обобщенных функций-мер (т. н. интегральный принцип максимума), для управляемых систем, описываемых дифференциальными уравнениями с отклоняющимся аргументом, дифференциальными уравнениями с частными производными, эволюционными уравнениями в банаховом пространстве, дифференциальными уравнениями на многообразиях, рекуррентными разностными уравнениями и т. д. (см. [1], [6], [7], [13] - [16]). Из указанных необходимых условий экстремума в задаче оптимального управления вытекают известные необходимые условия 1-го порядка классического вариационного исчисления. В частности, в двухточечной краевой задаче для системы (2), (3), где U- открытое множество, [img: http://localhost:8080/file/041605-11.jpg]) - стандартный интегральный функционал, из принципа Понтрягина вытекает необходимое условие экстремума Вейерштрасса в классическом вариационном исчислении. В теории оптимального управления развиваются методы получения необходимых условий высших порядков (особенно 2-го порядка) для неклассических вариационных задач (см. [19]). Интерес к условиям высших порядков в значительной степени был связан с изучением вырожденных задач оптимального управления, приводящих к т. н. особым управлениям и не имеющих адекватных аналогов в классич. теории. Напр., в принципе Понтрягииа функция H(t,y, х, и).либо может приводить к целому семейству управлений, каждое из к-рых удовлетворяет принципу максимума, либо вообще не зависит от и(тогда любое из допустимых значений иудовлетворяет принципу Понтрягина). Эта ситуация оказалась весьма характерной для целого ряда прикладных задач управления в пространстве. В данном случае выделение оптимального управления уже требует перебора экстремалей 1-го порядка (т. н. экстремалей Понтрягина) и применения к ним необходимых условий оптимальности 2-го или, в общем случае, более высокого порядка. Здесь разные по форме необходимые условия были получены путем использования специальных классов "неклассических" вариаций (напр., "связок" игольчатых вариаций и т. д.). Реализация особых управлений часто связана снова с использованием скользящих режимов (см. [17], [18]). Теория достаточных условий оптимальности разработана в меньшей степени. Известны результаты, относящиеся к условиям локальной оптимальности и содержащие, в числе прочих требований, условия невырожденности cистемы в вариациях и ограничения на свойства гессиана правых частей, вычисленного вдоль исследуемой траектории для соответствующего обыкновенного дифференциального уравнения. Другая группа достаточных условий опирается на метод динамич. программирования и его связь с теорией принципа максимума (см. [8]). Имеются и формализмы, приводящие к достаточным условиям абсолютного минимума, основанные на идее расширения вариационных задач. Область их реальной применимости охватывает специальные классы задач с выпуклыми критериями и вырожденных задач оптимального управления (см. [18]). Полное решение задачи О. у. п. (необходимые и достаточные условия оптимальности) известно для линейных систем (1), когда рассматриваемые функционалы и ограничения на и, х выпуклы (в ряде случаев здесь требуется выполнение нек-рых дополнительных условий). Привлечение идей двойственности, используемых в выпуклом анализе, выявило особое экстремальное свойство траекторий системы, описывающей сопряженные переменные принципа максимума Понтрягина. Это позволило свести краевую задачу, возникающую при использовании необходимых условий общего вида, к решению более простой двойственной экстремальной задачи. В рамках названного подхода получила развитие теория линейных систем с импульсными управлениями, моделирующих объекты, подверженные мгновенным воздействиям (ударным, взрывным, импульсным), и формализуемых при помощи дифференциальных уравнений в обобщенных функциях соответствующих порядков сингулярности. Эффективное применение, особенно в теории игровых систем, нашел метод областей достижимости (см. [2], [3]). В отсутствии полной априорной информации о системе (и в том числе статистич. описания недостающих величин) рассматривают задачу О. у. п. в условиях неопределенности. Пусть в системе [img: http://localhost:8080/file/041605-12.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041605-13.jpg] (4) параметр [img: http://localhost:8080/file/041605-14.jpg], реализующийся в виде функции времени w=w(t), и вектор х 0 неизвестны, но заданы лишь множества [img: http://localhost:8080/file/041605-15.jpg], [img: http://localhost:8080/file/041605-16.jpg]. Тогда, предполагая существование и продолжаемость на [t0, t1]решений [img: http://localhost:8080/file/041605-17.jpg] уравнения (4) (при заданных х 0, u(t), w(t), [img: http://localhost:8080/file/041605-18.jpg]), можно построить пучок (ансамбль) траекторий [img: http://localhost:8080/file/041605-19.jpg] Выбирая программное управление u(t).(одно и то же для всех траекторий пучка), можно управлять положением [img: http://localhost:8080/file/041605-20.jpg] в фазовом пространстве. Типичная задача О. у. п. в условиях неопределенности теперь состоит в оптимизации u(t).в силу функционала Ф типа максимума [img: http://localhost:8080/file/041605-21.jpg] (5) (тогда решение u0(t).задачи будет обеспечивать нек-рый гарантированный результат) или интегрального функционала [img: http://localhost:8080/file/041605-22.jpg] (6) Применение техники вывода необходимых условий оптимальности или ее модификаций позволило сформулировать требования, обеспечивающие существование аналогов принципа Понтрягина для задач (5), (6) (в первом случае он принимает форму нек-рого условия минимакса). Для линейных систем эти задачи допускают столь же детальное решение, как и в случае полной информации (см. [3], [20], [21]).