Орлича пространство

- банахово пространство измеримых функций; введено В. Орличем [1]. Пусть М(и).и N(и) - пара дополнительных N-функций (см. Орлича класс).и G - ограниченное замкнутое множество в [img: http://localhost:8080/file/041607-76.jpg]. Пространством Орлича [img: http://localhost:8080/file/041607-77.jpg] наз. множество измеримых относительно меры Лебега фуниций на G, на к-рых [img: http://localhost:8080/file/041607-78.jpg] О. п.- полнее нормированное пространство относительно нормы || х||M, к-рая наз. нормой Орлича. Когда М(и)=иР, [img: http://localhost:8080/file/041607-79.jpg], то [img: http://localhost:8080/file/041607-80.jpg] совпадает с Рисса пространством Lp и с точностью до скалярного множителя || х||M совпадает с ||x||Lp. Если M1(u).и M2(u).суть N-функции, то вложение [img: http://localhost:8080/file/041607-81.jpg] имеет место тогда и только тогда, когда для нек-рого Си всех достаточно больших ивыполнено неравенство [img: http://localhost:8080/file/041607-82.jpg]. Для любого О. и. [img: http://localhost:8080/file/041607-83.jpg] справедливы вложения [img: http://localhost:8080/file/041607-84.jpg]. Всякая суммируемая функция принадлежит нек-рому О. п. Пространство [img: http://localhost:8080/file/041607-85.jpg] сепарабельно тогда и только тогда, когда М(и).удовлетворяет D2 -условию. В общем случае [img: http://localhost:8080/file/041607-86.jpg] не плотно в [img: http://localhost:8080/file/041607-87.jpg] и замыкание [img: http://localhost:8080/file/041607-88.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/041607-89.jpg] обозначается через Е M, оно всегда сепарабельно. Если [img: http://localhost:8080/file/041607-90.jpg], то [img: http://localhost:8080/file/041607-91.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/041607-92.jpg] Если М(и).и N(и) - дополнительные N-функции и [img: http://localhost:8080/file/041607-93.jpg], [img: http://localhost:8080/file/041607-94.jpg], то справедлив аналог Гёлъдера неравенства [img: http://localhost:8080/file/041607-95.jpg] где ||x||(M) - Люксембурга норма. Всякий непрерывный линейный функционал f на Е M представим в виде [img: http://localhost:8080/file/041607-96.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/041607-97.jpg] и ||f||= ||у||(N) Критерии компактности М. Рисса (М. Riesz) и А. Н. Колмогорова для пространств Lp переносятся на Е М. Следующие условия эквивалентны: 1) пространство [img: http://localhost:8080/file/041607-98.jpg] рефлексивно; 2) М(и).и N(и).удовлетворяют D2 -условию; 3) в [img: http://localhost:8080/file/041607-99.jpg] существует безусловный базис; 4) Хаара система образует безусловный базис в [img: http://localhost:8080/file/041607-100.jpg]; 5) тригонометрич. система - базис в [img: http://localhost:8080/file/041607-101.jpg]. Система Хаара - базис в ЕМ. Аналогичным образом определяется пространство последовательностей [img: http://localhost:8080/file/041607-102.jpg], однако свойства пространства [img: http://localhost:8080/file/041607-103.jpg] зависят от асимптотики функции М(и).в 0. Изучены [5] многие геометрич. свойства пространств [img: http://localhost:8080/file/041607-104.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041607-105.jpg];напр., для любой функции М(и).находится множество всех таких р, что l р изоморфно вкладывается в [img: http://localhost:8080/file/041607-106.jpg]. О. п. применяются при изучении свойств интегральных операторов, в теории дифференцируемых функций многих переменных и в других разделах анализа.