Орнштейна - уленбека процесс

гауссовский стационарный случайный процесс V(t).с нулевым математич. ожиданием и экспоненциально затухающей корреляционной функцией вида [img: http://localhost:8080/file/041607-112.jpg] О. - У. п. может быть также определен как стационарное решение стохастич. уравнения (уравнения Ланжевена) вида [img: http://localhost:8080/file/041607-113.jpg] где W(t) - винеровский процесс (так что [img: http://localhost:8080/file/041607-114.jpg] =W'(t) - обобщенный случайный процесс белого шума), a m и b - положительные постоянные, причем b/m=a. Уравнение (*) приближенно описывает одномерное броуновское движение свободной частицы; при этом V(t).интерпретируется как скорость частицы, т- ее масса, - bV (t) - пропорциональная скорости сила "вязкого трения" (для сферич. частицы радиуса акоэффициент b равен 6pha, где h) - коэффициент вязкости, в силу гидродинамич. формулы Стокса), а белый шум W'(t) - это "случайная сила", порожденная хаотич. толчками молекул среды, находящихся в тепловом движении, и являющаяся основной причиной броуновского движения. В первоначальной теории броуновского движения, развитой А. Эйнштейном (A. Einstein) и М. Смолуховским (М. Smoluchowski) в 1905-06, пренебрегалось инерцией частицы, т. е. считалось, что m=0; при этом уравнение [img: http://localhost:8080/file/041607-115.jpg] приводило к выводу, что координата броуновской частицы [img: http://localhost:8080/file/041607-116.jpg] равна b-1W(t), т. е. представляет собой винеровский процесс. Таким образом, винеровский процесс описывает модель Эйнштейна - Смолуховского броуновского движения (отсюда другое его название - процесс броуновского движения); т. к. этот процесс недифференцируем, то в теории Эйнштейна - Смолуховского частица, совершающая броуновское движение, не имеет конечной скорости. Уточненная теория броуновского движения, опирающаяся на уравнение. [img: http://localhost:8080/file/041607-117.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/041607-118.jpg], была предложена Л. Орнштейном и Дж. Уленбеком ([1]; см. также [2]); позже та же теория была выдвинута С. Н. Бернштейном [3] и А. Н. Колмогоровым [4]. В теории Орнштейна - Уленбека скорость V(t).броуновской частицы является конечной, но ее ускорение бесконечно (так как О.- У. п. недифференцируем); для того чтобы и ускорение оказалось конечным, надо уточнить теорию, учтя отличие случайной силы от идеализированного белого шума W'(t). Уравнение [img: http://localhost:8080/file/041607-119.jpg] можно использовать и для описания одномерного броуновского движения гармонич. осциллятора, если пренебречь его массой и считать, что V(t) - это координата осциллятора, [img: http://localhost:8080/file/041607-120.jpg] - сила вязкого трения, -bV - регулярная упругая сила, удерживающая осциллятор, a W'(t).- случайная сила, создаваемая молекулярными толчками. Таким образом, О.- У. п. доставляет также модель пульсаций координаты гармонич. осциллятора, совершающего броуновское движение, родственную модели Эйнштейна - Смолуховского броуновского движения свободной частицы. О.- У. п. является однородным по времени марковским процессом диффузионного типа (см. Диффузионный процесс);наоборот, процесс V(t), являющийся одновременно стационарным случайным процессом, гауссовским процессом и марковским процессом, обязательно представляет собой О.- У. п. Как марковский процесс О.- У. п. удобно характеризовать его переходной плотностью вероятности р(t, x, у), представляющей собой фундаментальное решение соответствующего уравнения Фоккера - Планка (т. е. прямого Колмогорова уравнения).вида [img: http://localhost:8080/file/041607-121.jpg] и, следовательно, задаваемой формулой [img: http://localhost:8080/file/041607-122.jpg] Многие свойства О.- У. п. V(t).(включая и его марковость) можно вывести из известных свойств винеровского процесса, воспользовавшись тем, что процесс [img: http://localhost:8080/file/041607-123.jpg] является стандартным винеровским процессом (см. [5]). В частности, отсюда следует, что реализации О.- У. п. непрерывны и нигде не дифференцируемы с вероятностью 1 и что [img: http://localhost:8080/file/041607-124.jpg] с вероятностью 1.