Ортогонализация системы функций

построение для заданной системы функций {fn (х)}, интегрируемых с квадратом на отрезке [ а, Ъ]функций ортогональной системы {jn(x)} путем применения нек-рого процесса ортогонализации или же путем продолжения функций fn(x).на более длинный интервал [с, d],c<a<b<d. Применение процесса ортогонализацпи Шмидта к полным системам {fn(x)} всегда приводит к полным ор-тонормированным системам {jn(x)} и при соответствующем выборе последовательности {fn(x)}дает возможность построения систем, обладающих теми или иными хорошими свойствами. Таким путем построена, напр., система Франклина (см. Ортогональная система), являющаяся базисом в С[0, 1] и в Lp[0,1], [img: http://localhost:8080/file/041608-15.jpg] О. с. ф. путем продолжения на более длинный интервал впервые рассматривалась И. Шуром (см. [1] с. 84). Он доказал, что для существования ортонормированной в L2[0, 1] системы {jn(x)},jn(x) = fn(x), [img: http://localhost:8080/file/041608-16.jpg],0<а<b<1, необходимо и достаточно выполнение условия [img: http://localhost:8080/file/041608-17.jpg] где верхняя грань берется по всем {xi}, [img: http://localhost:8080/file/041608-18.jpg]. Найдены также необходимые и достаточные условия, при выполнении к-рых можно путем такой ортогонализации получить полную ортонормированную систему {jn(x)} (см. [2]). Нек-рые конструкции ортогонализации продолжением функций даны Д. Б. Меньшовым [3]. Они использовались пси доказательстве теорем о точности условия [img: http://localhost:8080/file/041608-19.jpg] для сходимости почти всюду ортогональных рядов [img: http://localhost:8080/file/041608-20.jpg]