Ортогональная группа

группа всех линейных преобразований n-мерного векторного пространства Vнад полем k, сохраняющих фиксированную невырожденную квадратичную форму Q на V(т. е. таких линейных преобразований j, что Q(jn(v))=Q(v) для любого [img: http://localhost:8080/file/041608-21.jpg]). О. г. принадлежит к числу классических групп. Элементы О. г. наз. ортогональными (относительно Q).преобразованиями V, а также автоморфизмами формы Q. Пусть, далее, char [img: http://localhost:8080/file/041608-22.jpg] (об О. г. над полями характеристики 2 см [l], [7]) и f - связанная с Qневырожденная симметрич. билинейная форма на V, определенная формулой [img: http://localhost:8080/file/041608-23.jpg] Тогда О. г. состоит в точности из тех линейных преобразований пространства V, к-рые сохраняют f, и обозначается через On(k, f) или (когда ясно о каком поле kи форме f идет речь) просто через О n. Если В - матрица f в каком-либо базисе пространства V, то О. г. может быть отождествлена с группой всех таких (nХn)-матриц Ас коэффициентами в k, что [img: http://localhost:8080/file/041608-24.jpg] ([img: http://localhost:8080/file/041608-25.jpg] -транспонирование). Описание алгебраич. строения О. г. составляет предмет классич. исследований. Определитель любого элемента из О п равен 1 или -1. Элементы с определителем 1 наз. вращениями; они образуют в О. г. нормальный делитель [img: http://localhost:8080/file/041608-26.jpg] (или просто [img: http://localhost:8080/file/041608-27.jpg]) индекса 2, наз. группой вращений. Элементы из [img: http://localhost:8080/file/041608-28.jpg] наз. переворачиваниями. Всякое вращение (переворачивание) является произведением четного (нечетного) числа отражений из О п. Пусть Zn - группа всех гомотетий [img: http://localhost:8080/file/041608-29.jpg], [img: http://localhost:8080/file/041608-30.jpg] пространства V. Тогда [img: http://localhost:8080/file/041608-31.jpg] - это центр On он состоит из двух элементов: j1 и jn-1. Если пнечетно, то О п является прямым произведением своего центра и [img: http://localhost:8080/file/041608-32.jpg]. Центр [img: http://localhost:8080/file/041608-33.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/041608-34.jpg] тривиален, если пнечетно, и совпадает с центром О п, если п четно. Если же п=2, то группа [img: http://localhost:8080/file/041608-35.jpg] коммутативна и изоморфна либо мультипликативной группе [img: http://localhost:8080/file/041608-36.jpg] поля k(в случае, когда индекс Витта v формы f равен 1), либо группе элементов с нормой 1 в поле [img: http://localhost:8080/file/041608-37.jpg], где D - дискриминант формы f (в случае, когда v=0). Коммутант группы On(k, f) обозначается через Wn(k, f) или просто Wn; он порождается квадратами элементов из О п. При [img: http://localhost:8080/file/041608-38.jpg] коммутант группы [img: http://localhost:8080/file/041608-39.jpg] совпадает с Wn. Центр группы Wn имеет вид [img: http://localhost:8080/file/041608-40.jpg] Классич. группами, связанными с О. г., являются также канонич. образы [img: http://localhost:8080/file/041608-41.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041608-42.jpg] в проективной группе;они обозначаются [img: http://localhost:8080/file/041608-43.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041608-44.jpg] (или просто [img: http://localhost:8080/file/041608-45.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041608-46.jpg]) и изоморфны соответственно [img: http://localhost:8080/file/041608-47.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041608-48.jpg] Основные классич. факты об алгебраич. структуре О. г. относятся к описанию последовательных факторов следующего ряда нормальных делителей в О. г. [img: http://localhost:8080/file/041608-49.jpg] Группа [img: http://localhost:8080/file/041608-50.jpg] имеет порядок 2. Всякий элемент в [img: http://localhost:8080/file/041608-51.jpg] имеет порядок 2, ввиду чего строение этой группы полностью определяется кардинальным числом ее элементов, к-рое может быть либо бесконечным, либо конечным вида 2a, а - целое. Описание остальных факторов существенно зависит от того, отличен ли от нуля индекс Витта v формы f. Пусть сначала [img: http://localhost:8080/file/041608-52.jpg]. Тогда [img: http://localhost:8080/file/041608-53.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/041608-54.jpg] Этот изоморфизм определен спинорной нормой, к-рая задает эпиморфизм [img: http://localhost:8080/file/041608-55.jpg] на [img: http://localhost:8080/file/041608-56.jpg] с ядром Wn. Группа [img: http://localhost:8080/file/041608-57.jpg] нетривиальна (и состоит из преобразований j1 и j-1) тогда и только тогда, когда п-четно и [img: http://localhost:8080/file/041608-58.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/041608-59.jpg], то группа [img: http://localhost:8080/file/041608-60.jpg] проста. Случаи n=3, 4 рассматриваются отдельно. А именно, PW3=W3 изоморфна PSL2(k).(см. Специальная линейная группа).и также проста, если число элементов в А; не равно 3 (группа [img: http://localhost:8080/file/041608-61.jpg] изоморфна проективной группе PGL2(k)). При v=l группа РW4=W4 изоморфна группе [img: http://localhost:8080/file/041608-62.jpg] и проста (в этом случае [img: http://localhost:8080/file/041608-63.jpg]), а при v=2 группа PW4 изоморфна [img: http://localhost:8080/file/041608-64.jpg] и не проста. В частном случае, когда [img: http://localhost:8080/file/041608-65.jpg] и Q - форма сигнатуры (3, 1), группа [img: http://localhost:8080/file/041608-66.jpg] наз. группой Лоренца. В случае же, когда v=0 (т. е. Q - анизотропная форма), многие из указанных результатов не верны. Напр., если [img: http://localhost:8080/file/041608-67.jpg], a Q - положительно определенная форма, то [img: http://localhost:8080/file/041608-68.jpg], хотя [img: http://localhost:8080/file/041608-69.jpg] состоит из двух элементов; при k=Q, n=4, возможен случай, когда [img: http://localhost:8080/file/041608-70.jpg], но [img: http://localhost:8080/file/041608-71.jpg]. Вообще при v=0 структура О. г. и связанных с ней групп существенно зависит от k. Напр., если k= [img: http://localhost:8080/file/041608-72.jpg], то [img: http://localhost:8080/file/041608-73.jpg], [img: http://localhost:8080/file/041608-74.jpg], [img: http://localhost:8080/file/041608-75.jpg], v=0, проста (а [img: http://localhost:8080/file/041608-76.jpg] изоморфна прямому произведению [img: http://localhost:8080/file/041608-77.jpg] двух простых групп); если же k - поле р-адических чисел, то при v=0 в O3 (и в 04) существует бесконечный ряд нормальных делителей с абелевыми факторами. Наиболее изучены случаи локально компактного поля и поля алгебраич. чисел. Если k - поле р-адических чисел, то случай v=0 невозможен при [img: http://localhost:8080/file/041608-78.jpg]. Если же k - поле алгебраич. чисел, то такого ограничения нет и один из основных результатов состоит в том, что РWn при v=0 и n>=5 проста. В этом случае изучение О. г. тесно связано с теорией эквивалентности квадратичных форм, к-рая основывается на рассмотрении форм, полученных из Qпри расширении kдо локальных полей, определенных нормированиями А: (принцип Хассе). Если k - конечное поле [img: http://localhost:8080/file/041608-79.jpg] из qэлементов, то О. г. является конечной группой. Порядок [img: http://localhost:8080/file/041608-80.jpg] при нечетном правен [img: http://localhost:8080/file/041608-81.jpg] а при n=2m равен [img: http://localhost:8080/file/041608-82.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/041608-83.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/041608-84.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041608-85.jpg] в противном случае. Указанные формулы вместе с приведенными общими фактами об О. г. при [img: http://localhost:8080/file/041608-86.jpg] позволяют вычислить также и порядки Wn и PWn, так как [img: http://localhost:8080/file/041608-87.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/041608-88.jpg], а порядок [img: http://localhost:8080/file/041608-89.jpg] равен 2. Группа PWn, [img: http://localhost:8080/file/041608-90.jpg], является одной из классических простых конечных групп (см. также Шевалле группа). Одни из основных результатов об автоморфизмах О. г. состоит в следующем: если [img: http://localhost:8080/file/041608-91.jpg], то всякий автоморфизм j группы О п имеет вид [img: http://localhost:8080/file/041608-92.jpg], [img: http://localhost:8080/file/041608-93.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/041608-94.jpg] - фиксированный гомоморфизм О п в ее центр, a g - фиксированное биективное полулинейное отображение V в себя, удовлетворяющее условию [img: http://localhost:8080/file/041608-95.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/041608-96.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/041608-97.jpg], а s - связанный с gавтоморфизм k. Если [img: http://localhost:8080/file/041608-98.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041608-99.jpg], то всякий автоморфизм [img: http://localhost:8080/file/041608-100.jpg] индуцирован автоморфизмом Оn (см. Ц], [3]). Так же, как и другие классич. группы, О. г. допускает (при нек-рых предположениях) геометрпч. характери-зацию. А именно, пусть Q - такая анизотропная форма, что [img: http://localhost:8080/file/041608-101.jpg] для любого [img: http://localhost:8080/file/041608-102.jpg]. В этом случае k - ппфагорово упорядочиваемое поле. При фиксированном упорядочении поля kn-мерной цепью инцидентных полупространств в Vназ. любая последовательность [img: http://localhost:8080/file/041608-103.jpg], построенная по линейно независимой системе векторов [img: http://localhost:8080/file/041608-104.jpg], где HS - множество всех линейных комбинаций вида [img: http://localhost:8080/file/041608-105.jpg] Группа О п обладает свойством свободной подвижности, т. е. для любых двух n-мерных цепей полупространств существует единственное преобразование из О п, переводящее первую цепь во вторую. Это свойство характеризует О. г.: если L - любое упорядоченное тело и G - подгруппа в GLn(L), [img: http://localhost:8080/file/041608-106.jpg], обладающая свойством свободной подвижности, то Lявляется пифагоровым полем, a G=On(L, f), где f - такая анизотропная симметрич. билинейная форма, что [img: http://localhost:8080/file/041608-107.jpg] для любого вектора v. Пусть [img: http://localhost:8080/file/041608-108.jpg] - фиксированное алгебранч. замыкание поля k. Форма f естественно продолжается до невырожденной симметрич. билинейной формы [img: http://localhost:8080/file/041608-109.jpg] на [img: http://localhost:8080/file/041608-110.jpg], а О. г. [img: http://localhost:8080/file/041608-111.jpg] является определенной над k линейной алгебраической группой с группой k-точек On(k, f). Определяемые таким образом (для разных f) линейные алгебраич. группы изоморфны над [img: http://localhost:8080/file/041608-112.jpg] (но, вообще говоря, не над k);соответствующая линейная алгебраич. группа над [img: http://localhost:8080/file/041608-113.jpg] наз. ортогональной алгебраической группой [img: http://localhost:8080/file/041608-114.jpg]. Ее подгруппа [img: http://localhost:8080/file/041608-115.jpg] также является линейной алгебраич. группой над [img: http://localhost:8080/file/041608-116.jpg] и наз. собственно ортогональной, или специальной ортогональной, алгебраической группой (обозначение: [img: http://localhost:8080/file/041608-117.jpg]); она является связной компонентой единицы группы [img: http://localhost:8080/file/041608-118.jpg] Группа [img: http://localhost:8080/file/041608-119.jpg] - почти простая алгебраич. группа (т. е. не содержащая ненульмерных алгебраич. нормальных делителей) типа Bs при n=2s+1, [img: http://localhost:8080/file/041608-120.jpg], и типа Ds при n=2s, [img: http://localhost:8080/file/041608-121.jpg]. Универсальной накрывающей группы SOn является спинорная группа. Если [img: http://localhost:8080/file/041608-122.jpg] или p-адическое поле, то On(k, f).естественно снабжается структурой вещественной, комплексной или р-адической аналитической группы. Группа Ли [img: http://localhost:8080/file/041608-123.jpg] определяется с точностью до изоморфизма сигнатурой формы f; если эта сигнатура имеет вид (р, q), p+q=n, то [img: http://localhost:8080/file/041608-124.jpg] обозначается через О(р, q).и наз. псевдоортогональной группой. Ее можно отождествить с группой Ли всех действительных (nхn)-матриц А, удовлетворяющих условию [img: http://localhost:8080/file/041608-125.jpg] (через 1s обозначена единичная (sХs)-матрица); алгебра Ли этой группы отождествляется с алгеброй Ли всех действительных (nХn)-матриц X. удовлетворяющих условию [img: http://localhost:8080/file/041608-126.jpg]. В частном случае q=О группа O(р, q).обозначается через O(п).и наз. вещественной ортогональной группой; ее алгебра Ли состоит из всех кососимметрических действительных (nХn)-матриц. Группа Ли О(р, q).имеет четыре компоненты связности при [img: http://localhost:8080/file/041608-127.jpg] и две компоненты связности при q=0. Связной компонентой единицы является ее коммутант, к-рый при q=0 совпадает с подгруппой SO(n).в О(п), состоящей из всех преобразований с определителем, равным 1. Группа O(р, q).компактна только при q=0. Инварианты SO (п).как топологич. многообразия достаточно подробно изучены. Один из классич. результатов в этом направлении - вычисление чисел Бетти многообразия SO(n):его полином Пуанкаре имеет вид [img: http://localhost:8080/file/041608-128.jpg] при п=2m+1 и вид [img: http://localhost:8080/file/041608-129.jpg] при п=2т. Фундаментальная группа многообразия SO(n).есть [img: http://localhost:8080/file/041608-130.jpg]. Вычисление высших гомотопич. групп pi(SO (п)) имеет непосредственное отношение к классификации локально тривиальных главных SO(n).расслоений над сферами. Важную роль в топологической К-теории играет теорема периодичности, согласно к-рой при [img: http://localhost:8080/file/041608-131.jpg] имеют место изоморфизмы [img: http://localhost:8080/file/041608-132.jpg] если n=0, 1; [img: http://localhost:8080/file/041608-133.jpg] если n=3, 7, и [img: http://localhost:8080/file/041608-134.jpg] если n=2, 4, 5, 6. Изучение топологии группы O(р, q).но существу сводится к предыдущему случаю, т. к. связная компонента единицы группы О(р, q).диффеоморфна произведению SO(p)xSO(q).на евклидово пространство.