Ортогональность

- обобщение понятия перпендикулярности векторов евклидова пространства. Наиболее естественное понятие О. введено в теории гильбертовых пространств. Два элемента хи уиз гильбертова пространства Нназ. ортогональными [img: http://localhost:8080/file/041609-7.jpg], если их скалярное произведение равно нулю ((х, у).0). Это понятие О. в том частном случае, когда H - евклидово пространство, совпадает с понятием перпендикулярности двух векторов. В терминах этого понятия в любом гильбертовом пространстве верна теорема Пифагора: если элемент [img: http://localhost:8080/file/041609-8.jpg] равен конечной или счетной сумме попарно ортогональных элементов [img: http://localhost:8080/file/041609-9.jpg] (счетная сумма [img: http://localhost:8080/file/041609-10.jpg] понимается в смысле сходимости ряда в метрике пространства Н), то [img: http://localhost:8080/file/041609-11.jpg] (см. Парсеваля равенство). Полная счетная система {xi} ортонормировапных векторов сепарабельного гильбертова пространства представляет аналог полной системы попарно ортогональных векторов конечномерного евклидова пространства: любой элемент [img: http://localhost:8080/file/041609-12.jpg] единственным образом представляется в виде суммы [img: http://localhost:8080/file/041609-13.jpg], причем с ixi=(х, xi)xi - проекция элемента хна х i. В случае функционального пространства L2[a, b]такую роль играют полные ортонормированные системы функций [img: http://localhost:8080/file/041609-14.jpg]: если [img: http://localhost:8080/file/041609-15.jpg], то [img: http://localhost:8080/file/041609-16.jpg] в метрике пространства L2[a, b], где [img: http://localhost:8080/file/041609-17.jpg] В случае, когда jk(x) - ограниченные функции, коэффициенты ck можно определить для любой интегрируемой функции. При этом представляет интерес вопрос о сходимости соответствующего разложения в том или ином смысле (см. Тригонометрическая система, Хаара система). Поэтому для функций термин "О." употребляется в более широком смысле: интегрируемые на отрезке [a, b]функции f(x).и g(x).наз. ортогональными, если [img: http://localhost:8080/file/041609-18.jpg] (для существования интеграла обычно требуется, чтобы [img: http://localhost:8080/file/041609-19.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041609-20.jpg] - множество ограниченных функций). Существуют также определения О. элементов произвольного действительного нормированного пространства. Одно из них (см. [4]) следующее: элемент хдействительного нормированного пространства Всчитается ортогональным элементу у, если [img: http://localhost:8080/file/041609-21.jpg] для любого действительного k. В терминах этого понятия установлены нек-рые необходимые и достаточные условия, при к-рых может быть определено скалярное (внутреннее) произведение элементов пространства В(см. [5], [6]).