Осреднение

усреднение, - операция вычисления средних значений функций, входящих в структуру дифференциальных уравнений, описывающих периодические, почти периодические и, вообще, колебательные процессы. Операция О. может рассматриваться как нек-рый сглаживающий оператор. Методы О. впервые стали применяться в небесной механике при исследовании движения планет вокруг Солнца. Позже они получили распространение в самых разнообразных областях: в теории нелинейных колебаний, в физике, в теории автоматич. регулирования, астро-динамике и др. Методы О. часто позволяют находить приближенные решения для исходных уравнений. Наиболее типичные классы дифференциальных уравнений, к к-рым применяются методы О., следующие. 1) Стандартные системы в смысле Н. Н. Боголюбова [img: http://localhost:8080/file/041613-84.jpg] где х, X - векторы, t - время, m - малый положительный параметр. 2) Многочастотные автономные 2p-периодические системы [img: http://localhost:8080/file/041613-85.jpg] где х, у, X, Y - векторы, причем [img: http://localhost:8080/file/041613-86.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041613-87.jpg] - вектор частот. 3) Многочастотные неавтономные системы [img: http://localhost:8080/file/041613-88.jpg] Вместо систем (1)-(3) рассматриваются "более простые" осредненные системы 1-го приближения: [img: http://localhost:8080/file/041613-89.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/041613-90.jpg] Формулы (4)- (6) выражают наиболее распространенные схемы О. Формула (6) выражает схему О. "вдоль порождающего решения". В функции Х(х, у, t).вектор усначала заменяется порождающим решением системы [img: http://localhost:8080/file/041613-91.jpg] после чего вычисляется интегральное среднее (6). Принципиальный вопрос, к-рый возникает при замене систем (1)-(3), состоит в том, чтобы построить e-оценки для норм [img: http://localhost:8080/file/041613-92.jpg] на возможно большем (порядка [img: http://localhost:8080/file/041613-93.jpg]) промежутке времени, если [img: http://localhost:8080/file/041613-94.jpg] В этом состоит проблема обоснования методов О. Для систем (1) проблема обоснования методов О. была поставлена и решена Н. Н. Боголюбовым, результаты к-рого заложили основы современной алгоритмич. теории обыкновенных дифференциальных уравнений.